Identificando arestas inúteis para o caminho mais curto

$G$ $M_G$ $G$ $M_G[i, j]$ $i$ $j$ $G$ $+$ $\max$

Eu digo que um subgrafo de (com o mesmo conjunto de vértices) é sp-equivalente a se . Em outras palavras, remover arestas para ir de para não altera o comprimento dos caminhos mais curtos; as arestas removidas não são necessárias para nenhum caminho mais curto. $G'$ $G$ $G$ $M_G = M_{G'}$ $G$ $G'$

Em geral, não existe um único subgrafo de equivalente a sp que seja mínimo para inclusão. Por exemplo, se não é direcionado e todas as arestas têm peso , qualquer árvore de abrangência de é um subgrafo mínimo equivalente a sp (na verdade, qualquer aresta em um ciclo pode ser removida, mas desconectar um par de vértices obviamente altera a distância). No entanto, ainda posso chamar as arestas de inúteis se elas não estiverem em um subgráfico mínimo equivalente a sp, necessário se estiverem em todos os subgráficos mínimos equivalentes a sp (por exemplo, na interseção) e opcional se estiverem em alguns deles (por exemplo, , em sua união). $G$ $G$ $0$ $G$ $G$

Minha primeira pergunta é: essas noções têm um nome padrão?

Minha segunda pergunta é: Qual é a complexidade de classificar as arestas de dessa maneira, dependendo de ser não direcionado ou direcionado e da função de agregação? $G$ $G$

(Por exemplo, para não direcionado e para , os subgráficos mínimos equivalentes a sp abrangem árvores de peso mínimo, portanto, pelo menos se todos os pesos das arestas forem diferentes, a classificação será facilmente calculada calculando-se a árvore de abrangência mínima exclusiva, mas em geral Não sei como as coisas funcionam.) $G$ $\max$

— a3nm
fonte

"Por exemplo, se G é direcionado e não ponderado, qualquer árvore de abrangência de G é um subgrafo mínimo equivalente a sp." Isso não parece ser verdade: em todas as distâncias são , mas nenhuma árvore de tem essa propriedade. De fato, nenhum subgráfico faz. Em outras palavras, isso soa como uma chave inglesa pt.wikipedia.org/wiki/Graph_spanner#Distance #

K_{n}

$K_n$

1

$1$

K_{n}

$K_n$

— Sasho Nikolov

De fato, para qualquer gráfico não ponderado não direcionado , não existe subgráfico equivalente a sp: se um subgrafo não incluir aresta , então .

G

$G$

G^{'}

$G'$

(u, v)

$(u, v)$

1 = M_{G} [u, v] < M_{G^{'}} [u, v]

$1 = M_G[u, v] < M_{G'}[u, v]$

— Sasho Nikolov

Acho que podemos pelo menos dizer que a identificação é tão fácil quanto o caminho mais curto de todos os pares: se houver uma aresta mas o caminho mais curto de a for mais curto que a aresta, então a aresta é "inútil" (devemos sempre utilizar esse caminho mais curto em vez dessa borda, em qualquer cenário); por outro lado, se uma aresta é "inútil", deve haver um caminho mais curto que o comprimento da aresta de a . Portanto, basta percorrer as arestas e verificar se há um caminho mais curto que a aresta. (O texto acima é para o habitual caminho mais curto, ainda não pensou sobre o regra de agregação.)

(u, v)

$(u,v)$

u

$u$

v

$v$

u

$u$

v

$v$

max

$\max$

— usul

Você pode querer olhar para cima "preservadores à distância"

— arnab

Sasho Nikolov: Desculpe, para gráficos não direcionados e não ponderados, eu quis dizer arestas de peso 0, não 1. Reformulando isso na questão.

— a3nm

Se você estiver procurando uma maneira de nomear (ou caracterizar alternadamente) essas arestas que você chama de "inúteis" e "necessárias", você pode se referir a elas como as arestas com centralidade entre as partes = 0 e = 1, respectivamente. Cada aresta pode ser classificada como tendo = 0, = 1 ou em (0,1) medida de intervalo no tempo dos caminhos mais curtos de todos os pares.

Essa é uma medida bem estudada das arestas da rede, e existem algoritmos rápidos para atualizar todas as pontuações de centralidade das arestas com as exclusões das arestas (mas não tenho certeza sobre outras perturbações).

Uma função de centralidade é incorporada a quase todas as análises de rede que eu já vi, e há uma definição que se aplica também a gráficos direcionados:

(editar: o link que forneci inicialmente discutiu apenas a centralidade entre os nós dos nós, mas aqui está o único artigo da Wikipedia que discute a centralidade entre os limites: http://en.wikipedia.org/wiki/Girvan%E2%80%93Newman_algorithm Ainda assim, o limite entre as bordas é uma medida padrão que geralmente pode ser encontrada em pacotes de análise de rede.)

— JimN
fonte

Eu acho que a diferença entre a centralidade entre nós e a centralidade entre as bordas é essencial porque você sempre pode adicionar nós intermediários às bordas ou copiar nós e adicionar uma borda de uma cópia à outra, para reduzir uma definição à outra. Este é um ponteiro útil, obrigado por me informar disso!

— a3nm