Existe uma prova formal de que a computação quântica é ou será mais rápida que a computação clássica?

Em vez de evidências empíricas, por quais princípios formais provamos que a computação quântica será mais rápida que a computação tradicional / clássica?

Essa é uma pergunta um pouco difícil de descompactar se você não estiver familiarizado com a complexidade computacional. Como a maior parte do campo da complexidade computacional, os principais resultados são amplamente considerados, mas conjecturais.

As classes de complexidade tipicamente associadas ao cálculo clássico eficiente são (para algoritmos determinísticos) e B P P (para randomização). A contrapartida quantum dessas classes é B Q P . Todas as três classes são subconjuntos de P S P A C E (uma classe muito poderosa). No entanto, os nossos métodos actuais de prova não são suficientemente fortes para mostrar definitivamente que P não é a mesma coisa que P S P A C E . Assim, não sabemos como separar formalmente P de B Q $\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{BQP}$$\mathsf{PSPACE}$$\mathsf{P}$$\mathsf{PSPACE}$$\mathsf{P}$$\mathsf{BQP}$ou - uma vez que , que separa estas duas classes é mais difícil do que a tarefa de separar já formidável P de P S P A C E . (Se pudéssemos provar P ≠ B Q P , obteríamos imediatamente uma prova de que P ≠ P S P A C E , provando P ≠ B Q $\mathsf{P \subseteq BQP \subseteq PSPACE}$$\mathsf{P}$$\mathsf{PSPACE}$$\mathsf{P \ne BQP}$$\mathsf{P \ne PSPACE}$$\mathsf{P \ne BQP}$tem que ser pelo menos tão difícil quanto o problema já muito difícil de provar ). Por esse motivo, no atual estado da arte, é difícil obter uma prova matemática rigorosa que mostre que a computação quântica será mais rápida que a computação clássica.$\mathsf{P \ne PSPACE}$

Assim, geralmente confiamos em evidências circunstanciais para separações de classes de complexidade. Nossa evidência mais forte e mais famoso é o algoritmo de Shor que nos permite fator . Por outro lado, não conhecemos nenhum algoritmo que possa levar em consideração B P P - e a maioria das pessoas acredita que um não existe; isso é parte da razão pela qual usamos o RSA para criptografia, por exemplo. Grosso modo, isso implica que é possível que um computador quântico fatore com eficiência, mas sugere que pode não ser possível que um computador clássico fatore com eficiência. Por essas razões, o resultado de Shor sugeriu a muitos que B Q P é estritamente mais poderoso que B P $\mathsf{BQP}$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{BQP}$$\mathsf{BPP}$(e, portanto, também mais poderoso que ).$\mathsf{P}$

Não conheço nenhum argumento sério de que , exceto daquelas pessoas que acreditam em um colapso muito maior da classe de complexidade (que é uma minoria da comunidade). Os argumentos mais sérios que ouvi contra a computação quântica vêm de posições mais próximas da física e argumentam que B Q P não captura corretamente a natureza da computação quântica. Esses argumentos geralmente dizem que estados coerentes macroscópicos são impossíveis de manter e controlar (por exemplo, porque há algum obstáculo físico fundamental ainda desconhecido) e, portanto, os operadores nos quais B Q P conta não podem ser realizados (mesmo em princípio) em nosso mundo. .$\mathsf{BQP = P}$$\mathsf{BQP}$$\mathsf{BQP}$

Se começarmos a mudar para outros modelos de computação, um modelo particularmente fácil de trabalhar é a complexidade da consulta quântica (a versão clássica que corresponde a ela é a complexidade da árvore de decisão). Neste modelo, para funções totais, podemos provar que (para alguns problemas) os algoritmos quânticos podem atingir uma aceleração quadrática, embora também possamos mostrar que, para funções totais, não podemos fazer melhor do que uma potência-6 acelerar e acreditar que quadrático é o Melhor possível. Para funções parciais, é uma história totalmente diferente e podemos provar que são possíveis acelerações exponenciais. Novamente, esses argumentos se baseiam na crença de que temos uma compreensão decente da mecânica quântica e que não existe uma barreira teórica mágica desconhecida para impedir que estados quânticos macroscópicos sejam controlados.

Para a complexidade computacional, não há provas de que os computadores quânticos sejam melhores que os computadores clássicos devido à dificuldade em obter limites mais baixos da dureza dos problemas. No entanto, existem configurações nas quais um computador quântico prova-se melhor do que um computador clássico. O mais famoso desses exemplos está no modelo de caixa preta no qual você tem acesso via caixa preta a uma função e deseja encontrar o x exclusivo para o qual f é avaliado como 1. A medida de complexidade, neste caso, é o número de chamadas para $f:\{0,1\}^n\mapsto \{0,1\}$$x$$f$$f$. Clássico, você não pode fazer melhor do que adivinhar aleatoriamente, o que leva em média Ω ( 2 n ) consultas a f . No entanto, usando o algoritmo de Grover, você pode realizar a mesma tarefa em O ( $x$$\Omega(2^n)$$f$.$O(\sqrt{2^n})$

Para separações mais prováveis, você pode analisar a complexidade da comunicação, onde sabemos como provar limites mais baixos. Existem tarefas que dois computadores quânticos que se comunicam através de um canal quântico podem realizar com menos comunicação do que dois computadores clássicos. Por exemplo, a computação do produto interno de duas cadeias, um dos problemas mais difíceis na complexidade da comunicação, acelera o uso de computadores quânticos.

Artem Kaznatcheev fornece um resumo excelente de algumas das principais razões pelas quais esperamos que os computadores quânticos sejam fundamentalmente mais rápidos que os computadores clássicos para algumas tarefas.

Se você quiser uma leitura adicional, pode ler as notas da aula de Scott Aaronson sobre computação quântica , que discutem o algoritmo Shor e outros algoritmos que admitem algoritmos quânticos eficientes, mas não parecem admitir nenhum algoritmo clássico eficiente.

Não é lá é BQP um modelo preciso da realidade, ou é algo que pode nos impedir de construir um computador quântico, quer por razões de engenharia ou por causa de barreiras físicas fundamentais: um debate sobre se os computadores quânticos podem ser construídas na prática? Você pode ler as notas da aula de Scott Aaronson resumindo os argumentos que outros levantaram e também ler sua postagem no blog com sua opinião sobre esse debate , mas provavelmente não teremos uma resposta definitiva até que alguém realmente construa um computador quântico que possa executar tarefas não triviais (como fator de números grandes).

O edifício básico da computação quântica é a transformação unitária, esta é a principal ferramenta para acelerar em muitos algoritmos da literatura. Algoritmos que usam Unitaries usam propriedades teóricas de número / gráfico de problemas em mãos - descoberta de períodos, acelerações em caminhadas quânticas, etc. Acelerações em problemas naturais ainda são ilusórias - como apontado. Se fatorar grandes números é o fim em si para a computação quântica, ainda é uma questão em aberto. Outras questões em aberto, como a QNC, sua separação da NC ainda poderiam fornecer pistas ilusórias sobre o que os computadores quânticos podem fazer. Mas, se o objetivo do computador quântico é fatorar grandes números - ainda pode ser viável, em si mesmo em algum futuro, com implicações assustadoras (é claro, para a privacidade pessoal)!

Eu queria responder aos comentários de Niel de Beaudrap sobre a fonte de acelerações quânticas, mas não posso comentar. Não sei se posso postar uma resposta.

Na minha opinião, todas as acelerações quânticas são devidas a emaranhados. O único algoritmo em que podemos fazer algo mais rápido que os computadores clássicos sem usar estados emaranhados é o Deutsch-Jozsa para calcular a paridade de dois bits. Se discutirmos sobre acelerações assintóticas, é necessário o emaranhamento e, de fato, muito disso. Se um algoritmo quântico precisa de uma pequena quantidade de emaranhamento, ele pode ser simulado de forma eficiente e classicamente. Eu posso apontar o artigo http://arxiv.org/abs/quant-ph/0201143 , que discute especificamente o algoritmo de fatoração e quanto emaranhamento ele requer.

essa é quase a mesma questão central que está impulsionando algo como centenas de milhões, ou possivelmente bilhões de dólares em iniciativas de pesquisa em QM de computação, tanto públicas quanto privadas em todo o mundo. a questão está sendo atacada ao mesmo tempo, experimental e teoricamente, e os avanços de cada lado são transferidos para o outro lado.

a questão tenta separar claramente os aspectos teóricos e pragmáticos / experimentais dessa questão, mas um experimentalista ou engenheiro argumentaria que eles são fortemente acoplados, inseparáveis, e que o progresso histórico até agora no desafio é evidência / prova disso.

o ponto a seguir certamente não ganhará nenhum concurso de popularidade (possivelmente devido ao viés bem conhecido / observado de que resultados negativos raramente são relatados cientificamente), mas vale a pena notar que há uma opinião minoritária / contrária promovida por vários grupos credíveis , até pesquisadores de elite que a computação em QM pode ou nunca se materializará fisicamente devido a desafios de implementação intransponíveis, e há ainda algumas justificativas / análises teóricas para isso (mas talvez mais na física teórica do que no TCS). (e observe que alguns podem ter dúvidas, mas não estão dispostos a continuar registrando o questionamento do "paradigma dominante".) os principais argumentos são baseados no ruído inerente à GQ, no princípio da incerteza de Heisenberg e na confusão experimental fundamental das configurações de GQ, etc.

agora existem duas décadas bastante sólidas de pesquisas teóricas e experimentais e a facção minoritária argumentaria que os resultados até agora não são animadores, sem brilho ou até agora estão chegando a uma resposta negativa definitiva.

um dos mais sinceros defensores da visão negativa (na fronteira com o extremo / feroz!) é Dyakonov, mas, no entanto, argumenta apaixonadamente o caso com base em todos os ângulos:

• Estado da arte e perspectivas da computação quântica / Dyakonov

• Perspectivas para a computação quântica: extremamente duvidoso / Dyakonov

pode-se acusar Dyakonov de quase polemismo, mas serve como um contraponto quase simétrico a alguns proponentes da computação de QM que acreditam fervorosamente na posição oposta (que não há quase absolutamente nenhuma questão de sua viabilidade futura / eventual / inevitável). outro grande teórico que defende as limitações inerentes à computação em QM (com base no ruído) é Kalai. aqui está um longo debate entre ele e Harrow sobre o assunto.

• Movimento perpétuo do século XXI?

também é natural traçar alguma analogia, pelo menos frouxa, de outro projeto de física massivo / complexo que até agora não alcançou seu objetivo final após décadas de tentativas e previsões iniciais otimistas, o de experimentos de fusão geradores de energia .