Um idioma total que apenas um idioma completo de Turing pode interpretar

Qualquer idioma que não esteja completo em Turing não pode escrever um intérprete para si próprio. Não tenho idéia de onde li isso, mas já o vi usado várias vezes. Parece que isso dá origem a uma espécie de linguagem completa "final" não-Turing; aquele (s) que só podemser interpretado por uma máquina de Turing. Essas linguagens não seriam necessariamente capazes de calcular todas as funções totais de naturais para naturais nem necessariamente seriam isomórficas (ou seja, talvez as línguas definitivas A e B existam de tal forma que exista uma função F que A possa computar, mas B não possa). A Agda pode interpretar o sistema T de Godel e a Agda é total, de modo que uma linguagem tão definitiva seja estritamente mais poderosa que o sistema T de Godel parece. Parece-me que esse idioma seria pelo menos tão poderoso quanto o agda (embora eu não tenha provas, apenas um palpite).

Alguma pesquisa foi feita nesse sentido? Quais resultados são conhecidos (ou seja, é conhecida uma linguagem "definitiva")?

Bônus: Estou preocupado que exista um caso patológico que não possa computar funções que o Sistema T de Godel ainda possa ser interpretado apenas por uma máquina de Turing porque permite que algumas funções realmente estranhas sejam computadas. É esse o caso ou podemos saber que essa linguagem seria capaz de calcular qualquer coisa que o Sistema T de Godel pudesse computar?

Esta é uma pergunta mal formulada, então vamos entender melhor. Eu vou fazer o estilo da teoria da computabilidade. Assim, usarei números em vez de cadeias: um código-fonte é um número, em vez de uma cadeia de símbolos. Realmente não importa, você pode substituir por s t r i n $\mathbb{N}$$\mathtt{string}$ abaixo.

Deixe ser uma função de emparelhamento$\langle m, n\rangle$ .

Digamos que uma linguagem de programação seja fornecida pelos seguintes dados:$L = (P, ev)$

1. um conjunto decidível $P \subseteq \mathbb{N}$ de "programas válidos" e
2. um calculável e parcial função .$ev : P \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

O fato de ser decidível significa que existe um mapa computável total v a l i d : N → { 0 , 1 } tal que v a l i d ( n ) = $P$$valid : \mathbb{N} \to \{0,1\}$ . Informalmente, estamos dizendo que é possível dizer se uma determinada string é um pedaço de código válido. A função e v é essencialmente um intérprete para a nossa linguagem: e v ( m , n ) executa o código m na entrada$valid(n) = 1 \iff n \in P$$ev$$ev(m,n)$$m$$n$ - o resultado pode ser indefinido.

Agora podemos introduzir alguma terminologia:

1. Um idioma é total se for uma função total para todos os m ∈ $n \mapsto ev(m,n)$$m \in P$ .
2. Uma linguagem de interpreta língua L 2 = ( P 2 , e v 2 ) se existe u ∈ P 1 de tal modo que e v 1 ( u , ⟨ n , m ⟩ ) ≃ e v 2 ( n , m ) para todos os n ∈ $L_1 = (P_1, ev_1)$ $L_2 = (P_2, ev_2)$$u \in P_1$$ev_1(u, \langle n, m \rangle) \simeq ev_2(n, m)$$n \in P$e . Aqui u é o simulador para L 2 implementado em L 1 . Também é conhecido como programa universal para L 2 .$m \in \mathbb{N}$$u$$L_2$$L_1$$L_2$

Outras definições de " interpreta L 2 " são possíveis, mas não permita que eu entre nisso agora.$L_1$$L_2$

Dizemos que e L 2 são equivalentes se eles se interpretarem.$L_1$$L_2$

Existe a "linguagem mais poderosa" das máquinas de Turing (que você chama de "máquina de Turing") na qual n ∈ N é uma codificação de uma máquina de Turing e φ ( n , m ) é a função computável parcial que "executa a máquina de Turing codificada por n na entrada m ". Esse idioma pode interceptar todos os outros idiomas, obviamente, uma vez que exigimos e $T = (\mathbb{N}, \varphi)$$n \in \mathbb{N}$$\varphi(n,m)$$n$$m$$ev$ ser computável.

Nossa definição de linguagens de programação é muito descontraída. Para o seguinte, vamos exigir mais três condições:

• $L$ implements the successor function: there is $succ \in P$ such that $ev(succ,m) = m+1$ for all $m \in \mathbb{N}$,
• $L$ implements the diagonal function: there is $diag \in P$ such that $ev(diag,m) = \langle m, m \rangle$ for all $m \in \mathbb{N}$,
• $L$ is closed under composition of functions: if $L$ implements $f$ and $g$ then it also implements $f \circ g$,

A classic result is this:

Theorem: If a language can interpret itself then it is not total.

Proof. Suppose $u$ is the universal program for a total langauge $L$ implemented in $L$, i.e., for all $m \in P$ and $n \in \mathbb{N}$,

$$ev(u, \langle m, n \rangle) \simeq ev(m, n).$$ As successor, diagonal, and $ev(u, {-})$ are implemented in $L$, so is their composition $k \mapsto ev(u, \langle k, k \rangle) + 1$. There exists $n_0 \in P$ such that $ev(n_0, k) \simeq ev(u, \langle k, k \rangle) + 1$, but then $$ev(u, \langle n_0, n_0\rangle) \simeq ev(n_0, n_0) \simeq ev(u, \langle n_0, n_0 \rangle) + 1$$ As there is no number equal its own successor, it follows that $L$ is not total or that $L$ does not interpret itself. QED.

Observe that we could replace the successor map with any other fixpoint-free map.

Here is a little theorem which I think will clean up a misunderstanding.

Theorem: Every total language can be interpreted by another total language.

Proof. Let $L$ be a total language. We get a total $L'$ which interprets $L$ by adjoining to $L$ its evaluator $ev$. More precisely, let $P' = \{\langle 0, n\rangle \mid n \in P\} \cup \{\langle 1, 0\rangle\}$ and define $ev'$ as

$$ev'(\langle b, n \rangle, m) = \begin{cases} ev(n,m) & \text{if $b = 0$},\\ ev(m_0, m_1) & \text{if $b = 1$ and $m = \langle m_0, m_1 \rangle$} \end{cases}$$ Obviously, $L'$ is total because $L$ is total. To see that $L'$ can simulate $L$ just take $u = \langle 1, 0\rangle$, since then $ev'(u, \langle m, n\rangle) \simeq ev(m, n)$, as required. QED.

Exercise: [added 2014-06-27] The language $L'$ constructed above is not closed under composition. Fix the proof of the theorem so that $L'$ satisfies the extra requirements if $L$ does.

In other words, you never need the full power of Turing machines to interpret a total language $L$ – a slightly more powerful total language $L'$ suffices. The language $L'$ is strictly more powerful than $L$ because it interprets $L$, but $L$ does not interpret itself.

Any language which is not Turing complete can not write an interpreter for it self.

This statement is incorrect. Consider the programming language in which the semantics of every string is "Ignore your input and halt immediately". This programming language is not Turing complete but every program is an interpreter for the language.