Algoritmos quânticos baseados em transformações diferentes das transformadas de Fourier

Em Computação Quântica e Informações Quânticas de Nielsen e Chuang, eles dizem que muitos dos algoritmos baseados nas transformações quânticas de Fourier dependem da propriedade Invariância Coset das transformadas Fourier e sugerem que as propriedades invariáveis de outras transformações podem gerar novos algoritmos.

Houve alguma pesquisa frutífera sobre outras transformações?

quantum-computing quantum-information

— Sam Burville
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Sim. Yi-Kai Liu, Shelby Kimmel e outros desenvolveram algoritmos quânticos baseados em transformações de wavelets, e Stephen Jordan desenvolveu algoritmos quânticos baseados na transformação de Clebsch-Gordan. Você pode pesquisar no Google por referências, ou outras podem aparecer para fornecer algumas. Obviamente, os problemas resolvidos por esses algoritmos não são tão importantes quanto o fatorial e o log discreto (caso contrário, você já deve ter ouvido falar sobre isso).

— 68868 Scott Aronson

@ScottAaronson comment -> answer

— Alessandro Cosentino

@ ScottAaronson Ótimo, vou dar uma olhada neles. Obrigado!

— Sam Burville 07/07

Oráculos Hamiltonianos?

— vzn

Yi-Kai Liu desenvolveu algoritmos quânticos usando a transformação curvelet (veja a versão completa no arXiv ou a versão curta do FOCS).

— Māris Ozols

Respostas:

Gostaria de acrescentar mais algumas referências ao comentário de Scott:

De fato, as transformadas de Clebsch-Gordan (que você pode considerar transformadas de Fourier quânticas com vários registros) são uma ferramenta útil no design de algoritmos quânticos para problemas de subgrupos ocultos (HSPs) não abelianos.

As transformadas de Clebsch-Gordan foram usadas por Greg Kuperberg e Oded Regev para resolver o HSP diédrico em tempo subexponencial (ainda que superpolinomial). Esses algoritmos quânticos não são eficientes, mas têm uma complexidade de consulta melhor que os algoritmos clássicos.
Dave Bacon também usou transformações de Clebsch-Gordan para resolver o problema de subgrupo oculto (HSP) no grupo Heisenberg em tempo polinomial. Posso recomendar esse papel porque é bem claro. $\mathbb{Z}_p^2\rtimes \mathbb{Z}_p$

Também estou escrevendo para acrescentar que não devemos esquecer que as transformações quânticas de Fourier e de Clebsch-Gordan nem sempre são indispensáveis, mesmo que possam ser muito úteis.

No algoritmo de Shor (ou mesmo na estimativa da fase quântica), as transformadas de Fourier podem ser substituídas pelos testes de Hadamard , portanto, usando apenas portas Hadamard em vez de transformadas de Fourier: esse truque é devido ao Kitaev e você pode ler aqui .
Existe ainda outro algoritmo eficiente para o HSP sobre , de Bacon, Childs, Van Dam, que não usa transformações de Clebsch-Gordan. Em vez disso, o algoritmo usa um certo tipo de poderoso POVM conhecido como Pretty Good Measurement. $\mathbb{Z}_p^2\rtimes \mathbb{Z}_p$

Obviamente, esta lista provavelmente está incompleta. Espero que alguém aponte outros resultados que ainda não foram mencionados.

— Juan Bermejo Vega
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HSP = problema de subgrupo oculto

— vzn

Obrigado por apontar isso. Expliquei o acrônimo na última edição.

— Juan Bermejo Vega

Não tenho certeza se isso está diretamente relacionado à sua pergunta, mas a leitura me fez pensar em um artigo de Peter Høyer que li alguns anos atrás. Nele, ele mostra como os algoritmos quânticos mais populares, como Grover ou Shor, seguem o mesmo padrão de aplicação do que ele chama de "operadores conjugados" e constrói novos algoritmos também baseados no mesmo padrão.

Como eu disse, já faz alguns anos desde que eu a li, então minha descrição é um pouco superficial, mas aqui está o link, caso você queira dar uma olhada.

http://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.59.3280

— Philippe Lamontagne
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