MAX 1 em 2 algoritmo SAT

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O problema de satisfação máxima (Max-Sat) é o problema de encontrar o número máximo de cláusulas que podem ser satisfeitas em uma instância de satisfação booleana. O problema exatamente 1 em 2 Sat pergunta, dado um conjunto de cláusulas, cada uma com dois literais, existe um conjunto de literais, de modo que cada cláusula tenha exatamente um literal desse conjunto.

A complexidade de fazer escolhas únicas: Aproximando 1-em-k SAT por Guruswami e Trevisan fornece um método para aproximar Max 1 em 2 Sat. Eles afirmam que monótonos (sem literais negados) Max 1 em 2 Sat "admite uma aproximação eletrônica no tempo polinomial".

Gostaria de encontrar um algoritmo exato para o problema Max monotone 1 em 2 Sat.

graph-algorithms sat max2sat

— Russell Easterly
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O monótono 1-em-Ek admite uma aproximação , mas isso é interessante apenas para : para uma atribuição aleatória é melhor. O monótono 1-em-E2 é MaxCut e admite uma aproximação de dada pelo algoritmo de Goemans-Williamson.

e

$e$

k \geq 4

$k\geq 4$

k < 4

$k <4$

1.138

$1.138$

— Sasho Nikolov

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Uma cláusula monótona 1 em 2 exige que as duas variáveis tenham valores diferentes. Assim, você pode modelar o problema como um problema gráfico, com um vértice por variável que será colorido em preto ou branco e uma aresta para uma cláusula indicando que as cores precisam ser diferentes. Portanto, a questão é tornar o gráfico bipartido excluindo um número mínimo de arestas. Esse é o problema MaxCut ou Edge Bipartization. É NP-difícil.

Para a bipartização de arestas, existe um algoritmo que é executado rapidamente quando poucas arestas precisam ser excluídas. Eu escrevi uma implementação para um problema um pouco mais geral descrito aqui ( código fonte ).

— Falk Hüffner
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Obrigado. Existe uma maneira simples de transformar o problema monótono Exatamente 1 em 3 SAT em um problema de conjunto independente ponderado máximo. Se uma instância for solucionável, o gráfico associado poderá ser bipartido, removendo uma aresta de cada cláusula. Espero que certas propriedades de 1 em 3 SAT tornem o MaxCut mais fácil nesses tipos de gráficos. Por exemplo, 1 em 3 SAT possui regras de redução poderosas .

— Russell Easterly

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Um algoritmo exato para o problema Max Monotone 1 em 2 Sat (ou seja, MaxCut) executando mais rápido que (aproximadamente tempo) pode ser encontrado no capítulo 6 da minha tese de doutorado, aqui: http: // web.stanford.edu/~rrwill/thesis.pdf $2^n$ $O(1.8^n)$

Não conheço outro algoritmo exato para o problema que melhora a pesquisa exaustiva em todas as instâncias. Para instâncias esparsas (com cláusulas ), Greg Sorkin e seus co-autores têm vários resultados algorítmicos. Veja aqui: https://sites.google.com/site/gregorysorkin/pubx $O(n)$

— Ryan Williams
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Obrigado. Dimitris Achlioptas provou que a cláusula de transição de fase para proporção variável para 1 em 3 SAT é 1/3. As instâncias solucionáveis 1 em 3 do SAT terão gráficos associados com taxas baixas de arestas para vértices.

— Russell Easterly

@ RussellEasterly Na verdade, isso só é verdade para a maioria das instâncias solucionáveis.

— Sasho Nikolov