Uma explicação puramente teórica dos gráficos da redução de Unique Label Cover para Max-Cut

Estou estudando a Conjectura de Jogos Exclusivos e a famosa redução para Max-Cut de Khot et al. Em seus artigos e em outros lugares da Internet, a maioria dos autores usa (o que para mim é) uma equivalência implícita entre a redução do MAX-CUT e a construção de testes específicos para códigos longos. Por causa da minha própria falta de clareza sobre essa equivalência, luto para seguir essa linha de pensamento.

Também parece claro a partir dessas exposições que se poderia descrever a redução puramente em termos de gráficos, mas que por coincidência ou preferência, ninguém escolhe fazer dessa maneira. Por exemplo, nessas notas de aula de O'Donnell, ele sugere que o teste de código longo corresponde a uma definição natural das arestas no gráfico que está sendo construído, mas, como não está explicitado, essa regra parece depender da escolha de um corte definir a função booleana que está sendo testada e isso me deixou um pouco confuso.

Então, estou pedindo a alguém que explique a redução "apenas" teoricamente em gráfico. Eu acho que isso vai me ajudar a entender a equivalência entre os dois pontos de vista.

Deixe-me ver se consigo esclarecer isso em alto nível. Suponha que a instância UG seja um gráfico bipartido , , em que e . Você deseja construir um novo gráfico para que, se a instância UG for satisfatória, tenha um corte grande e se a instância UG não for satisfatória, terá apenas cortes muito pequenos.G = ( V ∪ W , E ) { π e } e ∈ E π e : Σ → Σ | Σ | = m H 1 - δ H δ $G = (V \cup W, E)$$\{\pi_e\}_{e \in E}$$\pi_e\colon \Sigma \to \Sigma$$|\Sigma| = m$$H$$1-\delta$$H$$\delta$$H$

O gráfico contém, para cada vértice em , uma nuvem de pontos, cada um identificado por . A intenção é que você deve ser capaz de interpretar um longo código de codificação das etiquetas de como um corte de . Lembre-se de que para codificar algum com o código longo, use uma função booleana ; em particular, é a função ditadora . Vamos produzir um cortado (isto é, bi-partição dos vértices) a partir da codificação longa do código da seguinte maneira. SeH W 2 m x ∈ { - 1 , 1 } Σ W H σ ∈ Σ f : { - 1 , 1 } Σ → { - 1 , 1 } f ( x ) = x σ S ∪ T w ∈ $H$$W$$2^m$$x \in \{-1, 1\}^\Sigma$$W$$H$$\sigma \in \Sigma$$f\colon \{-1, 1\}^\Sigma \to \{-1, 1\}$$f(x) = x_\sigma$$S\cup T$$w \in W$tem um rótulo codificado pela função booleana , vá para a nuvem de vértices em correspondente e coloque em todos os vértices na nuvem que são rotulados por algum para o qual . Todos os outros vão para . Você pode fazer isso para trás para funções booleanas atribuir a todos com base em um corte de .f H w S x f ( x ) = 1 T w ∈ W $f$$H$$w$$S$$x$$f(x) = 1$$T$$w \in W$$H$

Para que a redução funcione, você precisa saber apenas olhando o valor de um corte$S\cup T$ se as funções booleanas correspondentes ao corte estão próximas de uma codificação longa de código de alguma atribuição de etiquetas para que satisfaz um monte de restrições ug de . Então a questão é quais informações obtemos a partir do valor de um corte . Considerar quaisquer dois vértices com etiqueta na nuvem correspondentes a e com etiqueta na nuvem correspondente a (na redução olharmos apenas paraW $W$$G$S ∪ T a x w b y w ′$S \cup T$$a$$x$$w$$b$$y$$w'$$w$, em nuvens diferentes). Dissemos que o corte pode ser usado para derivar funções booleanas e . Agora, se houver uma aresta em , será cortada se e somente se . Portanto, usar apenas o valor de um corte para saber se as funções booleanas induzidas são "boas" é o mesmo que ter um teste que, dadas as funções booleanas , apenas pede o que fração de alguma lista especificada de pares temos .w ′ f w f w ′ ( a , b ) H ( a , b ) f w ( x ) ≠ f w ′ ( y ) { f w } w ∈ W ( ( w , x ) , ( w ′ , y ) ) f w ( x ) ≠ f w ′$w'$$f_w$$f_{w'}$$(a,b)$$H$$(a, b)$$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$$\{f_w\}_{w \in W}$$((w, x), (w', y))$$f_w(x) \neq f_{w'}(y)$

Em outras palavras, sempre que Ryan disser nas notas "testar se ", o que ele realmente quer dizer é "em , adicione uma aresta entre o vértice na nuvem de " por e o vértice na nuvem de rotulado por ". Ou seja, para cada , cada dois de seus vizinhos e cada , incluem a aresta entre o vértice na nuvem de rotulada por e o vértice na nuvem de rotulado por e atribua o peso da arestaf w ( x ) ≠ f w ' ( y ) H w x w ' y v ∈ V w , w ' x , y ∈ { - 1 , 1 } n w x ∘ ¸ v , w w ' y ∘ ¸ v , w ′ ( ( 1 - ρ ) / 2 $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$$H$$w$$x$$w'$$y$$v\in V$$w, w'$$x,y \in \{-1, 1\}^n$$w$$x\circ \pi_{v,w}$$w'$$y \circ \pi_{v,w'}$$(({1-\rho})/{2})^d(({1+\rho})/{2})^{n-d}$ onde é a distância de Hamming entre e . Dessa maneira, o valor de um corte dividido pelo peso total da aresta é exatamente igual à probabilidade de sucesso do teste.$d$$x$$y$