Problemas completos naturais em níveis mais altos da hierarquia

A hierarquia é uma hierarquia de classes de complexidade em complexidade parametrizada, consulte o Zoológico da Complexidade para obter definições. Uma definição alternativa define usando a definibilidade ponderada de Fagin para as lógica de primeira ordem; consulte o livro de Flum e Grohe .$\mathsf{W}$$\mathsf{W}[t]$$\mathsf{W}[t]$$\Pi_t$

Para as classes mais baixas e , muitos problemas completos naturais são conhecidos, por exemplo, Clique e Conjunto Independente estão completos para e Dominating Set e O conjunto de ocorrências está completo para , onde cada um desses problemas é definido como o problema completo correspondente correspondente com o tamanho da solução necessária definida como parâmetro. $\mathsf{W}[1]$$\mathsf{W}[2]$$\mathsf{W}[1]$$\mathsf{W}[2]$$\mathsf{NP}$

Existem problemas naturais completos conhecidos para as classes mais altas na hierarquia , em particular para e ?$\mathsf{W}$$\mathsf{W}[3]$$\mathsf{W}[4]$

Do comentário acima:

$p$ HYPERGRAPH- (NÃO) -DOMINATING-SET é W [3] -completo sob reduções de fpt:

Um hipergrafo consiste em um conjunto de vértices e um conjunto de hiperedições. Cada hyperedge é como subconjunto de . Em um hiper- gráfico 3, todas as arestas têm tamanho 3. Se é um hiper- gráfico , todo induz um gráfico dado por:$H = (V,E)$$V$$E$$V$$H = (V,E)$$a \in V$$H^a = (V^a, E^a)$

$V^a = \{ v \in V \mid v \neq a \text{ and there is } e \in E \text{ with } a, v \in e \}$ e $E^a = \{ \{u,v\} \mid \{a,u,v\} \in E \}$

Entrada : A 3-hipergrafo , um conjunto de , e . Parâmetro : . Problema : Decida se existe um conjunto de cardinalidade tal que:$H = (V,E)$$M \subseteq V$$k \geq 1$
$k$
$D \subseteq V$$k$

• se , então é um conjunto dominante de ,$a \in M$$D$$H^a$
• se , então não é um conjunto dominante de .$a \notin M$$D$$H^a$

veja Yijia Chen, Jörg Flum e Martin Grohe. Uma análise da hierarquia W *. O Journal of Symbolic Logic, vol. 72, n. 2 (junho de 2007), pp. 513-534

Eu acredito que o título deste artigo é auto-explicativo e responde à sua pergunta: Sobre a cobertura de produtos em modelos de cadeia de suprimentos de três camadas: Problemas completos naturais para W [3] e W [4]