Classificação de portões reversíveis

A estrutura de Post , descrita por Emil Post em 1941, é basicamente um diagrama de inclusão completo de conjuntos de funções booleanas que são fechadas sob composição: por exemplo, as funções monótonas, as funções lineares sobre GF (2) e todas as funções. (Post não presumiu que as constantes 0 e 1 estivessem disponíveis gratuitamente, o que tornava sua estrutura muito mais complicada do que seria.)

Minha pergunta é se alguma coisa análoga já foi publicada para os portões reversíveis clássicos , como os portões de Toffoli e Fredkin. Ou seja, quais classes de transformações reversíveis em {0,1} ⁿ podem ser geradas por alguma coleção de portas reversíveis? Aqui estão as regras: você pode ter um número ilimitado de bits ancilla, alguns predefinidos para 0 e outros predefinidos para 1, desde que todos os bits ancilla retornem às suas configurações iniciais assim que sua transformação de {0,1} ⁿ for acabado. Além disso, um SWAP de 2 bits (ou seja, uma nova identificação de seus índices) está sempre disponível gratuitamente. Sob essas regras, meu aluno Luke Schaeffer e eu conseguimos identificar os dez conjuntos de transformações a seguir:

O conjunto vazio
O conjunto gerado pelo portão NOT
O conjunto gerado pelo NOTNOT (por exemplo, NOT gates aplicado a qualquer 2 dos bits)
O conjunto gerado pelo CNOT (ou seja, o portão NÃO controlado)
O conjunto gerado pelo CNOTNOT (ou seja, inverta os 2º e 3º bits se o 1º bit for 1)
O conjunto gerado por CNOTNOT e NOT
O conjunto gerado pelo portão Fredkin (isto é, Controlado-SWAP)
O conjunto gerado por Fredkin e CNOTNOT
O conjunto gerado por Fredkin, CNOTNOT e NOT
O conjunto de todas as transformações

Gostaríamos de identificar as famílias restantes e, em seguida, provar que a classificação está completa - mas antes de dedicarmos muito tempo a ela, gostaríamos de saber se alguém já fez isso antes.

circuit-families

— Scott Aaronson
fonte

Você está sentindo falta de NOTCSWAP e (CSWAP, NOTCSWAP), onde NOTCSWAP é como uma troca controlada, mas troca seus argumentos x, y quando seu argumento c é 0 (em vez de trocar quando c é 1 como em um CSWAP)? Você precisa de ambos para obter todas as permutações de preservação do peso de Hamming: o CSWAP permite apenas vetores de peso de Hamming ≥2, enquanto o NOTCSWAP permite apenas vetores de peso de Hamming ≤n-2.

— David Eppstein

Além disso (ficou sem espaço no comentário anterior), exigindo que um número maior de bits de controle seja zero ou diferente de zero, você pode obter subconjuntos ainda mais limitados das permutações de preservação de peso de Hamming, permutando apenas vetores com peso de Hamming pelo menos ou no máximo arbitrário limite. Portanto, isso oferece inúmeras classes de transformações.

— David Eppstein

Obrigado, David - mas presumi que 0 e 1 ancillas estavam disponíveis gratuitamente, precisamente para descartar tais "perversidades". Isso não acontece?

— Scott Aaronson

Seja

a classe de todas as permutações que preservam o módulo de peso de Hamming

. Então

satisfaz suas necessidades, e

sse

: os noninclusions de

em outras posições são testemunhado pelo

-ary função

, e

C_{n}

$C_n$

n

$n$

C_{n}

$C_n$

C_{n} \subseteq C_{m}

$C_n\subseteq C_m$

m | n

$m|n$

C_{n}

$C_n$

n

$n$

f_{n}

$f_n$

f_{n} (0^{n}) = 1^{n}

$f_n(0^n)=1^n$

f_{n} (1^{n}) = 0^{n}

$f_n(1^n)=0^n$

para

. Em particular, todas essas infinitas classes são distintas.

f (x) = x

$f(x)=x$

x \neq 0^{n}, 1^{n}

$x\ne0^n,1^n$

— Emil Jeřábek apoia Monica

Veja o artigo eccc.hpi-web.de/report/2015/066, no qual essas idéias foram polidas, e que também faz referência à resposta de Emil abaixo.

— András Salamon

$\def\N{\mathbb N}\DeclareMathOperator\sym{Sym}\def\cC{\mathcal C}\def\cD{\mathcal D}\def\cP{\mathcal P}\def\cI{\mathcal W}\def\cMI{\mathcal{MW}}\DeclareMathOperator\pol{Pol}\DeclareMathOperator\inv{Inv}\DeclareMathOperator\minv{MInv}\let\pres\parallel$ Esta é uma apresentação de metade da dualidade para transformações reversíveis, análogas à dualidade padrão clone-coclone (como aqui ). Ele não responde à pergunta, mas mostra que todas as classes fechadas de tais funções são determinadas pela preservação das propriedades de uma forma específica.

Em contraste com o caso padrão, a principal complicação é que as permutações podem contar (elas preservam a cardinalidade); portanto, seus invariantes precisam envolver um pouco de aritmética para explicar isso.

Deixe-me começar com uma terminologia provisória. Fixar um conjunto finito de base . (No caso clássico, Scott pergunta sobre . Partes da discussão também funcionam para infinito , mas não para a caracterização principal.) $A$ $A=\{0,1\}$ $A$

Um conjunto de permutações (ou: transformações reversíveis) é um subconjunto , em que denota o grupo de permutações de . Um clone de permutação é um conjunto de permutações tal que $\cC\subseteq\cP:=\bigcup_{n\in\N}\sym(A^n)$ $\sym(X)$ $X$ $\cC$

Cada é fechado em composição. $\cC\cap\sym(A^n)$

Para qualquer , a permutação definida por está em . $\pi\in\sym(\{1,\dots,n\})$ $\tilde\pi\in\sym(A^n)$ $\tilde\pi(x_1,\dots,x_n)=(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$ $\cC$

Se e , a permutação definido por é em . $f\in\cC\cap\sym(A^n)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $f\times g\in\sym(A^{n+m})$ $(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$ $\mathcal C$

Como é finito, 1 significa que é um subgrupo de . O OP exige apenas 2 para transposições , mas a versão aqui é claramente equivalente. A condição 3 é equivalente ao que chamei de introdução de variáveis fictícias nos comentários acima. $A$ $\cC\cap\sym(A^n)$ $\sym(A^n)$ $\pi$

Um clone mestre é um clone de permutação com permissão de ancillas:

Seja , e sejam tais que para todos os . Então implica . $f\in\sym(A^{n+m})$ $g\in\sym(A^n)$ $a\in A^m$ $f(x,a)=(g(x),a)$ $x\in A^n$ $f\in\cC$ $g\in\cC$

Nosso objetivo é caracterizar clones de permutação e clones principais por certos invariantes. Deixe-me primeiro motivar o último com alguns exemplos em : $A=\{0,1\}$

O clone principal de permutações que preserva o peso de Hamming (gerado pelo portão de Fredkin). Se denota a inclusão de em , essas permutações são caracterizadas pela propriedade onde e escrevo . $w$ $\{0,1\}$ $\N$
$y = f (x) ⟹ \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}),$ $y=f(x)\implies\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i),$ $f\in\sym(A^n)$ $x=(x_1,\dots,x_n)$
O clone mestre de permutações preservando o módulo de peso de Hamming fixou , mencionado nos comentários. Isso é caracterizado pela mesma fórmula acima, se interpretarmos como uma função de para o grupo cíclico e calcularmos a soma lá. $m$ $w$ $\{0,1\}$ $C(m)$
O clone mestre de permutações afins , , (gerado pelo CNOT). Verifica-se facilmente (ou sabe-se do caso Post) que uma função de saída única é afim se preservar a relação . Assim, se definirmos por um está no clone se então estamos lidando com somas no monóide $f(x)=Mx\oplus b$ $M\in\mathrm{GL}(n,\mathbb F_2)$ $b\in\mathbb F_2^n$ $\mathbb F_2^n\to\mathbb F_2$ $x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4=0$ $w\colon\{0,1\}\to\{0,1\}$
$w (x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}) = x^{1} \oplus x^{2} \oplus x^{3} \oplus x^{4},$ $w(x^1,x^2,x^3,x^4)=x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4,$ $f\in\sym(A^n)$ $y^{1} = f (x^{1}) \land \dots \land y^{4} = f (x^{4}) ⟹ {max}_{i = 1}^{n} w (x_{i}^{1}, \dots, x_{i}^{4}) = {max}_{i = 1}^{n} w (y_{i}^{1}, \dots, y_{i}^{4}),$ $y^1=f(x^1)\land\dots\land y^4=f(x^4)\implies\max_{i=1}^nw(x^1_i,\dots,x^4_i)=\max_{i=1}^nw(y^1_i,\dots,y^4_i),$ $(\{0,1\},0,\max)$ .

Em geral, uma função de peso é um mapeamento , onde e é um monóide comutativo. Uma função principal de peso é uma que mapeia toda a diagonal -tuples , , para elementos de inversíveis . Vamos denotar a classe de todas as funções de ponderação, e as funções peso mestre. $w\colon A^k\to M$ $k\in\N$ $M$ $k$ $(a,\dots,a)$ $a\in A$ $M$ $\cI$ $\cMI$

Se e é uma função de peso, dizemos que é invariável de ou (emprestando a terminologia sem pensar) que é um polimorfismo de escreva , se a seguinte condição for válida para todos : $f\in\sym(A^n)$ $w\colon A^k\to M$ $w$ $f$ $f$ $w$ $f\pres w$ $(x_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k},(y_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k}\in A^{n\times k}$

Se , então $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$
$\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) .$ $\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).$

Aqui, , e da mesma forma para . Em outras palavras, se (ou melhor, sua extensão paralela a ) preserva a soma dos pesos- de seus argumentos. $x^j=(x^j_1,\dots,x^j_n)$ $x_i=(x_i^1,\dots,x_i^k)$ $y$ $f\pres w$ $f$ $(A^k)^n$ $w$

A relação entre e (ou ) induz uma conexão de Galois entre conjuntos de permutações e classes de funções de peso , da maneira usual: e, portanto, um isomorfismo duplo entre as redes completas de conjuntos fechados de permutações e classes fechadas de funções de peso (mestre), respectivamente. Para ver que estamos no caminho certo, observamos que conjuntos fechados de permutações são de fato clones: $\pres$ $\cP$ $\cI$ $\cMI$ $\cC\subseteq\cP$ $\cD\subseteq\cI$

\begin{aligned} Pol (D) & = {f \in P : \forall w \in D (f ∥ w)}, \\ {Inv}^{*} (C) & = {w \in W : \forall f \in C (f ∥ w)}, \\ {MInv}^{*} (C) & = M W \cap {Inv}^{*} (C), \end{aligned}

$\begin{align*} \pol(\cD)&=\{f\in\cP:\forall w\in\cD\,(f\pres w)\},\\ \inv^*(\cC)&=\{w\in\cI:\forall f\in\cC\,(f\pres w)\},\\ \minv^*(\cC)&=\cMI\cap\inv^*(\cC), \end{align*}$

Lema: Se , é um clone de permutação. Se , é um clone principal. $\cD\subseteq\cI$ $\pol(\cD)$ $\cD\subseteq\cMI$ $\pol(\cD)$

Prova: a primeira afirmação é mais ou menos óbvia. Para o segundo, seja , como na condição 4, de modo que , e seja seja como na definição de . Coloque , e . Então implica No entanto, são invertíveis em pois é uma função de peso mestre, portanto $w\in\cD$ $f,g,a$ $f\pres w$ $(x_i^j),(y_i^j)$ $g\pres w$ $\bar x^j=(x^j,a)$ $\bar y^j=(y^j,a)=f(\bar x^j)$ $u_i=w(a_i,\dots,a_i)$ $f\pres w$

\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{x}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{y}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} .

$\sum_{i=1}^nw(x_i)+\sum_{i=1}^mu_i=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar x_i)=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar y_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i)+\sum_{i=1}^mu_i.$

u_{i}

$u_i$

M

$M$

w

$w$

\begin{matrix} QED & \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).\tag*{QED}$

Antes de prosseguirmos, precisamos corrigir um problema: os monóides podem ser enormes ; portanto, invariantes dessa forma podem ser suspeitos com razão de serem bobagens abstratas inúteis.

Primeiro, dada a função de peso , podemos assumir que é gerado por (e por inversões aditivas de imagens de elementos diagonais no caso principal), como outros elementos de não entra na imagem. Em particular, é finitamente gerado . Segundo, pelos resultados gerais da álgebra universal, podemos escrever como um produto subdireto que cada é subdiretivamente irredutível e é um quociente de através da ésima projeção do produto $w\colon A^k\to M$ $M$ $w(A^k)$ $M$ $M$ $M$

M \subseteq \prod_{i \in I} M_{i},

$M\subseteq\prod_{i\in I}M_i,$

M_{i}

$M_i$

M_{i}

$M_i$

M

$M$

i

$i$

π_{i}

$\pi_i$ ; em particular, ainda é um monóide comutativo finitamente gerado. Como resultado de Mal'cev, fg monoides comutativos subdiretamente irredutíveis (ou semigrupos) são de fato finitos . O mapeamento é novamente uma função de peso, mestre se fosse, e é fácil ver que Assim, sem perda de generalidade, podemos restringir a atenção às funções de peso , onde é finito e subdiretivamente irredutível. Seja a classe de tais funções de peso e coloque

w_{i} = π_{i} \circ w : A^{k} \to M_{i}

$w_i=\pi_i\circ w\colon A^k\to M_i$

w

$w$

Pol (w) = ⋂_{i \in I} Pol (w_{i}) .

$\pol(w)=\bigcap_{i\in I}\pol(w_i).$

w : A^{k} \to M

$w\colon A^k\to M$

M

$M$

F W

$\mathcal{FW}$

\begin{aligned} Inv (C) & = F W \cap {Inv}^{*} (C), \\ MInv (C) & = F W \cap {MInv}^{*} (C) . \end{aligned}

$\begin{align*} \inv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\inv^*(\cC),\\ \minv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\minv^*(\cC). \end{align*}$ Exemplos de monoides comutativos finamente subdiretivamente irredutíveis são os grupos cíclicos e os monoides de adição truncados . O caso geral é mais complicado, no entanto, pode-se dizer muito sobre sua estrutura: podemos escrever cada um de uma certa maneira como uma união disjunta de um e um nigremigrupo finito com algumas propriedades. Veja Grillet para detalhes.

C (p^{d})

$C(p^d)$

({0, \dots, d}, 0, min {d, x + y})

$(\{0,\dots,d\},0,\min\{d,x+y\})$

C (p^{d})

$C(p^d)$

Agora estamos prontos para o ponto principal deste post:

Teorema: Os conjuntos fechados de permutações na conexão de Galois para funções de peso finitas subdirectamente irredutíveis (master) são exatamente os clones de permutação (master clones, respectivamente).

Ou seja, se , o clone de permutação gerado por é e o clone principal gerado por é . $\cC\subseteq\cP$ $\cC$ $\pol(\inv(\cC))$ $\cC$ $\pol(\minv(\cC))$

Prova: Tendo em vista a discussão anterior, basta mostrar que se é um clone de permutação e , existe um invariante de modo que , e pode-se considerar como uma função de peso mestre se for um clone mestre. $\cC$ $f\in\sym(A^n)\smallsetminus\cC$ $w\colon A^k\to M$ $\cC$ $f\nparallel w$ $w$ $\cC$

Coloque e deixe ser o monóide livre gerado por (ou seja, palavras finitas sobre o alfabeto ). Definimos uma relação em por (Palavras de comprimento desigual nunca são relacionadas por .) Como cada é um grupo, é uma relação de equivalência (de fato, sua restrição a palavras de comprimento é apenas a relação de equivalência de órbita de agindo da maneira óbvia em $k=|A|^n$ $F$ $A^k$ $A^k$ $\sim$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists g \in C \cap Sym (A^{m}) \forall j = 1, \dots, k g (x_{1}^{j}, \dots, x_{m}^{j}) = (y_{1}^{j}, \dots, y_{m}^{j}) .

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m\iff\hbox{$\exists g\in\cC\cap\sym(A^m)\,\forall j=1,\dots,k\,g(x^j_1,\dots,x^j_m)=(y^j_1,\dots,y^j_m).$}$

\sim

$\sim$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

\sim

$\sim$

m

$m$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

A^{m k}

$A^{mk}$ ). Além disso, é uma congruência monóide: se e testemunham que e , respectivamente, então testemunha .

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{m})

$g\in\cC\cap\sym(A^m)$

g^{'} \in Sym (A^{m^{'}})

$g'\in\sym(A^{m'})$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m}

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m$

x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x'_1\cdots x'_{m'}\sim y'_1\cdots y'_{m'}$

g \times g^{'} \in C \cap Sym (A^{m + m^{'}})

$g\times g'\in\cC\cap\sym(A^{m+m'})$

x_{1} \dots x_{m} x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1} \dots y_{m} y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x_1\cdots x_mx'_1\cdots x'_{m'}\sim y_1\cdots y_my'_1\cdots y'_{m'}$

Assim, podemos formar o quociente monóide . A permutação de troca testemunha que para cada ; isto é, os geradores de comutam, portanto, é comutativo. Defina uma função de ponderação como a inclusão natural de em composta pelo mapa de quociente. $M=F/{\sim}$ $xy\sim yx$ $x,y\in A^k$ $M$ $M$ $w\colon A^k\to M$ $A^k$ $F$

É fácil ver que : de fato, se e , então pela definição de (usando a notação como na definição de ). Por outro lado, assuma . Seja uma enumeração de , e deixe para seja novamente como na definição de . Então $\cC\subseteq\pol(w)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$

\sum_{i = 1}^{m} w (x_{i}) = x_{1} \dots x_{m} / \sim = y_{1} \dots y_{m} / \sim = \sum_{i = 1}^{m} w (y_{i})

$\sum_{i=1}^mw(x_i)=x_1\cdots x_m/{\sim}=y_1\cdots y_m/{\sim}=\sum_{i=1}^mw(y_i)$

\sim

$\sim$

∥

$\pres$

f ∥ w

$f\pres w$

{a^{j} : j = 1, \dots, k}

$\{a^j:j=1,\dots,k\}$

A^{n}

$A^n$

b^{j} = f (a^{j})

$b^j=f(a^j)$

a_{i}, b_{i} \in A^{k}

$a_i,b_i\in A^k$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

∥

$\pres$

a_{1} \dots a_{n} / \sim = \sum_{i = 1}^{n} w (a_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (b_{i}) = b_{1} \dots b_{n} / \sim,

$a_1\cdots a_n/{\sim}=\sum_{i=1}^nw(a_i)=\sum_{i=1}^nw(b_i)=b_1\cdots b_n/{\sim},$ daí pela definição de , existe tal que para cada . No entanto, desde o exaustor , isso significa , ou seja, , uma contradição. Isso completa a prova para clones de permutação.

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{n})

$g\in\cC\cap\sym(A^n)$

g (a^{j}) = b^{j} = f (a^{j})

$g(a^j)=b^j=f(a^j)$

j

$j$

a^{j}

$a^j$

A^{n}

$A^n$

g = f

$g=f$

f \in C

$f\in\cC$

Mesmo se é um clone mestre, não precisa ser uma função do peso mestre, na verdade, os elementos da diagonal não são sequer necessariamente cancellative em , portanto, precisamos corrigi-lo. Para cada , deixe , e defina uma nova relação de equivalência em por Usando o fato de que elementos de comutam módulo , é fácil mostrar que é novamente uma congruência, portanto, podemos formar o monóide $\cC$ $w$ $M$ $c\in A$ $c^*=(c,\dots,c)\in A^k$ $\approx$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \approx y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists c_{1}, \dots, c_{r} \in A x_{1} \dots x_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} \sim y_{1} \dots y_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} .

$x_1\cdots x_m\approx y_1\cdots y_m\iff\exists c_1,\dots,c_r\in A\,x_1\cdots x_mc_1^*\cdots c_r^*\sim y_1\cdots y_mc_1^*\cdots c_r^*.$

A^{k}

$A^k$

\sim

$\sim$

\approx

$\approx$

M^{'} = F / \approx

$M'=F/{\approx}$ e uma função de peso . Como estende , é comutativo e um quociente de ; em particular, . Por outro lado, se , o mesmo argumento acima, juntamente com a definição de , daria um e tal que para todos os , portanto, como é um clone mestre, uma contradição.

w^{'} : A^{k} \to M^{'}

$w'\colon A^k\to M'$

\approx

$\approx$

\sim

$\sim$

M^{'}

$M'$

M

$M$

C \subseteq Pol (w^{'})

$\cC\subseteq\pol(w')$

f ∥ w^{'}

$f\pres w'$

\approx

$\approx$

g \in C \cap Sym (A^{n + r})

$g\in\cC\cap\sym(A^{n+r})$

c_{1}, \dots, c_{r} \in A

$c_1,\dots,c_r\in A$

g (x, c_{1}, \dots, c_{r}) = (f (x), c_{1}, \dots, c_{r})

$g(x,c_1,\dots,c_r)=(f(x),c_1,\dots,c_r)$

x \in A^{n}

$x\in A^n$

f \in C

$f\in\cC$

C

$\cC$

A definição de garante que para todos , e . Daqui resulta que os elementos são cancelados em . É um fato bem conhecido que qualquer monóide comutativo pode ser incorporado em outro, onde todos os elementos canceladores se tornam invertíveis. A composição dessa incorporação com é então uma função de peso principal e , portanto, . QED $\approx$

x c^{*} \approx y c^{*} ⟹ x \approx y

$xc^*\approx yc^*\implies x\approx y$

x, y \in F

$x,y\in F$

c \in A

$c\in A$

c^{*} / \approx = w^{'} (c^{*})

$c^*/{\approx}=w'(c^*)$

M^{'}

$M'$

w^{'}

$w'$

w^{″}

$w''$

Pol (w^{'}) = Pol (w^{″})

$\pol(w')=\pol(w'')$

w^{″} \in {MInv}^{*} (C) ∖ {MInv}^{*} (f)

$w''\in\minv^*(\cC)\setminus\minv^*(f)$

EDIT: Uma generalização da dualidade clone-coclone acima está agora escrita em

[1] E. Jeřábek, conexão de Galois para operações de produção múltipla , pré-impressão, 2016, arXiv: 1612.04353 [math.LO] .

— Emil Jeřábek apoia Monica
fonte

Muito obrigado pelo esforço necessário para escrever isso! Levarei tempo para digeri-lo, pois a linguagem dos clones e da álgebra universal é bastante abstrata para mim (de fato, foi uma pedra de tropeço quando tentei ler essa literatura no passado). Mas, ao elaborarmos os clones concretamente, é útil saber que todos eles serão caracterizados por invariantes, como de fato todos os exemplos que conhecemos. (Aliás, para ver, digamos, Fredkin + NÃO como caracterizado por uma invariante, acho que olhar para pares de entradas, e dizer que cada transformar preserva a soma de suas paridades?)

— Scott Aaronson

Enquanto isso, tenho progressos para relatar a questão concreta. Consegui classificar todos os pontos da rede acima do portão de Fredkin: as únicas possibilidades são as transformações que preservam o peso de Hamming mod k para qualquer k, as transformações que preservam ou invertem o peso de Hamming mod 2 (gerado por Fredkin + NÃO) e todas as transformações. Também posso caracterizar todos os pontos da treliça acima de CNOTNOT: são apenas os que eu listei no OP (CNOTNOT + NOT, CNOT, Fredkin + NOTNOT, Fredkin + NOT, tudo).

— Scott Aaronson

Sim, para Fredkin + NOT, podemos usar , . Obrigado pela atualização, isso parece muito bom.

M = C (2)

$M=C(2)$

w (x, y) = x \oplus y

$w(x,y)=x\oplus y$

— Emil Jeřábek apoia Monica

A esperança, é claro, é que os invariantes sejam, na prática, muito menores do que aquilo que cai fora da prova. (No caso Post, acredito que o pior que pode acontecer é ) A conexão de Galois não ajuda diretamente na classificação concreta, é mais uma ferramenta metodológica. Primeiro, pode ser mais fácil encontrar classes anteriormente não identificadas, se alguém souber que tipo de propriedades procurar. Segundo, uma etapa típica na prova da classificação de Post é a seguinte. Chegamos a uma classe em algum lugar no meio da rede e queremos descrever as classes acima dela. ...

k \leq n + 1

$k\le n+1$

C

$C$

— Emil Jeřábek apoia Monica

... é determinado por suas relações invariantes . Então, qualquer extensão adequada de deve conter um que não preserve algum , e geralmente é possível manipular pela composição etc. em uma função específica em um pequeno número de variáveis. Dessa forma, obtém-se uma lista modo que todas as classes estritamente acima de contenham a classe gerada por para alguns e pode-se prosseguir para a parte da treliça acima dessa . Isso não precisa da correspondência geral, mas conhecer os invariantes das classes particulares que encontramos.

C

$C$

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\dots,R_k$

C

$C$

f

$f$

R_{i}

$R_i$

f

$f$

f_{1}, \dots, f_{c}

$f_1,\dots,f_c$

C

$C$

C \cup {f_{i}}

$C\cup\{f_i\}$

i

$i$

— Emil Jeřábek apoia Monica