Teste de propriedade em outras métricas?

Existe uma grande literatura sobre "teste de propriedade" - o problema de fazer um pequeno número de consultas de caixa preta em uma função para distinguir entre dois casos:$f\colon\{0,1\}^n \to R$

1. $f$ é membro de alguma classe de funções$\mathcal{C}$

2. $f$ é de todas as funções da classe .$\varepsilon$$\mathcal{C}$

O intervalo da função às vezes é booleano: , mas nem sempre.$R$$R = \{0,1\}$

Aqui, é geralmente considerado como distância de Hamming: a fração dos pontos de que precisariam ser alterados para colocar na classe . Essa é uma métrica natural se tiver um intervalo booleano, mas parecerá menos natural se o intervalo for de valor real.f f C$\varepsilon$$f$$f$$\mathcal{C}$$f$

Minha pergunta: existe um fio da literatura de teste de propriedades que testa a proximidade de alguma classe com relação a outras métricas?$\mathcal{C}$

Sim existe! Vou dar três exemplos:

1. Dado um conjunto S e uma "tabela de multiplicação" sobre S x S, considere o problema de determinar se a entrada descreve um grupo abeliano ou se está longe de um. Friedl, Ivanyos e Santha no STOC '05 mostraram que existe um testador de propriedades com o polilog de complexidade da consulta (| S |) quando a medida de distância é em relação à distância de edição das tabelas de multiplicação, o que permite adicionar e excluir linhas e colunas de a tabuada de multiplicação. O mesmo problema também foi considerado no modelo de distância de Hamming por Ergun, Kannan, Kumar, Rubinfeld e Viswanathan (JCSS '00), onde eles mostraram a complexidade da consulta de O ~ (| S | ^ {3/2}).

2. Há uma grande quantidade de trabalho realizado no teste de propriedades de gráficos, onde os gráficos são representados usando listas de adjacência e existe um limite no grau de cada vértice. Nesse caso, o modelo de distância não é exatamente a distância de Hamming, mas sim quantas arestas podem ser adicionadas ou excluídas enquanto preserva o limite de grau.

3. No estudo estreitamente relacionado das propriedades de teste das distribuições, várias noções de distância entre distribuições foram estudadas. Nesse modelo, a entrada é uma distribuição de probabilidade em algum conjunto e o algoritmo obtém acesso por amostragem do conjunto de acordo com a distribuição desconhecida. O algoritmo é necessário para determinar se a distribuição satisfaz alguma propriedade ou está "longe" dela. Várias noções de distância foram estudadas aqui, como L_1, L_2, escavador. As distribuições de probabilidade em domínios infinitos também foram estudadas aqui ( Adamaszek-Czumaj-Sohler, SODA '10 ).

Geralmente não é chamado de teste de propriedade (e realmente não é), mas há um grande trabalho sobre a decisão de propriedades de uma matriz observando um menor menor induzido. Isso é muito semelhante ao objetivo no teste de propriedades. Veja, por exemplo, o artigo de Rudelson e Vershynin:

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1255449

Existem artigos anteriores de Frieze-Kannan. O ponto é que geralmente a métrica que eles usam é alguma norma matricial, como norma espectral, norma de frobenius ou norma de corte. Se desejar, você pode pensar em alguns desses resultados como algoritmos de teste de propriedades em uma métrica diferente da distância de Hamming.

O trabalho de Berman, Raskhodnikova e Yaroslavtsev [1] introduz o teste das funções com relação às distâncias , para . Destina-se a capturar situações em que a magnitude do ruído é o que importa (em vez da distância mais frágil de Hamming). (Alguns resultados referentes às distâncias também podem ser encontrados em [2]).L p p ≥ 1 L $f\colon [n]^d\to \mathbb{R}$$L_p$$p\geq 1$$L_p$

Veja, por exemplo, o Capítulo 12 (Seção 12.4) da Introdução aos testes de propriedades de Goldreich para uma discussão sobre os testes em relação à edição e distância .$L_p$

(Observe que o teste não é o mesmo que o teste de distribuição (normalmente em relação a / variação total), pois (i) o teste do objeto não é o mesmo (funciona com distribuições de probabilidade), (ii) o tipo de acesso é diferente ( consulta versus amostra, geralmente) e (iii) a distância conforme definida em [1] é normalizada (por ) para problemas de dimensionamento e não está em teste de distribuição (como a massa é sempre por definição) .L 1 L 1 n $L_1$$L_1$$L_1$$n$$1$

[1] Teste . Berman, Raskhodnikova e Yaroslavtsev, STOC'14.$L_p$

[2] Testando monotonicidade$k$ . Canonne, Grigorescu, Guo, Kumar e Wimmer, ITCS'17.