Para um oráculo aleatório R, BPP é igual ao conjunto de linguagens computáveis ​​em P ^ R?


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Bem, o título praticamente diz tudo. A pergunta interessante acima foi feita pelo comentarista Jay no meu blog (veja aqui e aqui ). Suponho que a resposta é sim e que existe uma prova relativamente simples, mas não a vi de imediato. (Muito grosso modo, pode-se tentar mostrar que, se um idioma em não estivesse em B P P , então ele deve ter informações mútuas algorítmicas infinitas com R , caso em que não seria computável. essa direção é trivial: as linguagens computáveis ​​em P R certamente contêm B P P. )PRBPPRPR BPP

Note que estou não perguntando sobre a classe AlmostP , que consiste dessas línguas que estão em para quase todos os R (e é bem conhecido para igualar B P P ). Nesta questão, primeiro fix R , em seguida olhar para o conjunto de idiomas computáveis em P R . Por outro lado, pode-se tentar mostrar que, se um idioma em P R é calculável, mesmo para uma fixa a Oracle aleatório R , então, de facto, que a língua devem ser em uma l m o s t P .PRRBPPRPRPRRAlmostP

Uma questão intimamente relacionada é se, com probabilidade 1 sobre um oráculo aleatório , temosR

AM=NPRComputable.

Nesse caso, obtemos a seguinte conseqüência interessante: se , com probabilidade 1 sobre um oráculo aleatório R , os únicos idiomas que testemunham a separação do oráculo P RN P R são idiomas incontestáveis.P=NPRPRNPR


Respostas:


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Sim.

Em primeiro lugar, uma vez que me levou um minuto para descobrir isso sozinho, deixe-me formalizar a diferença entre a sua pergunta e ; é a ordem dos quantificadores. A l m o s t P : = { L : P r R ( L P R ) = 1 } , e o resultado que você alude é LAlmostPAlmostP:={L:PrR(LPR)=1}LLBPPPrR(LPR)=1 . Se entendi corretamente, você está perguntando se .PrR(LLPRCOMPLBPP)=PrR(PRCOMP=BPP)=1

Considerar

.p:=1PrR(PRCOMP=BPP)=PrR(LPRCOMPBPP)

Pelo limite da união, o é delimitado por L C O M P P r R ( L P RB P P ) . (Observe que a última soma é contável.) Agora, pela lei 0-1 - que se aplica, pois todas as declarações relevantes não mudam se mudarmos R finitamente - cada probabilidade individual nessa soma é 0 ou 1. Se a a resposta à sua pergunta é não, então p = 1 , então deve haver algum L C O M P tal quepLCOMPPrR(LPRBPP)Rp=1LCOMP . Mas isso contraria o facto de Um l m o s t P = B P P .PrR(LPRBPP)=1AlmostP=BPP

Actualizar 10 de outubro de 2014 : Como foi salientado no comentário por Emil Jerabek, o mesmo se aplica a vs. N P R , uma vez que também sabe que um l m o s t N P = A M .AMNPRAlmostNP=AM

Ele também ressalta que não usamos nada sobre além de que é uma classe contável que contém B P P (resp., A M ). Portanto, a "conclusão interessante" no OQ realmente se aplica a qualquer classe contável de linguagens C que contém A M : se P = N P , as "únicas" linguagens que testemunham a separação do oráculo P RN P R estão fora de CCOMPBPPAMCAMP=NPPRNPRCL0C=AM{L0}, and thereby "show" that no L0 realizes NPRPR, contradicting the well-known theorem). Rather, writing it out symbolically, we've shown:

If P=NP, then countable CAMPrR(NPRPR and NPRC=PRC)=1.

Note that, crucially, probability 1 is not the same thing as all R, and which full-measure set of R satisfy the argument to PrR can depend on C. So if we try to alter C to C{L0}, it at most removes a measure 0 set of R that satisfy this statement.


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The same argument applies to AM vs NP^R. Also, computability does not really matter, the only property of computable languages used in the proof is that there are countably many.
Emil Jeřábek supports Monica

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Embora a ordem dos quantificadores entre o que você está perguntando e quase P seja diferente, não é muito difícil mostrar que eles são equivalentes. Primeiro, para qualquer L fixo, a questão de saber se L \ em P ^ O não depende de nenhum segmento inicial finito de O. segue-se que a probabilidade de L \ em P ^ R ser 0 ou 1. Do quase - P resulta que, para cada L computável que não esteja no BPP, a resposta é 0, enquanto que se L \ no BPP, a probabilidade é 1. Como existem muitos L computáveis, podemos fazer um vínculo de união; uma união contável de conjuntos de probabilidade 0 tem probabilidade 0. Portanto, a probabilidade de que haja qualquer L computável que não esteja no BPP, mas esteja em P ^ R é 0, assim como a probabilidade de que exista um idioma no BPP que não esteja em P ^ R,

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