Classificação por comparação aleatória ideal

Portanto, todos sabemos o limite inferior da árvore de comparação de no pior número de comparações feitas por um algoritmo (determinístico) de classificação por comparação. Não se aplica à classificação de comparação aleatória (se medirmos as comparações esperadas para a entrada do pior caso). Por exemplo, para , o limite inferior determinístico é de cinco comparações, mas um algoritmo aleatório (permuta aleatoriamente a entrada e aplica a classificação de mesclagem) é melhor, tendo $\lceil\log_2 n!\rceil$ $n=4$ comparações de expectativa para todos os insumos. $4\frac{2}{3}$

O O limite sem limites ainda se aplica no caso randomizado, por um argumento teórico da informação, e pode ser ligeiramente apertado para $\log_2 n!$ Isso ocorre porque existe um algoritmo ideal que permite a entrada aleatoriamente e aplica uma árvore de decisão (determinística), e a melhor árvore de decisão (se existir) é aquela em que todas as folhas estão em dois níveis consecutivos.

k + \frac{2 (n! - 2^{k})}{n!}, where k = ⌊ \log_{2} n! ⌋ .

$k+\frac{2(n!-2^k)}{n!} \text{, where } k=\lfloor\log_2 n!\rfloor.$

E se alguma coisa for conhecida sobre os limites superiores desse problema? Para todos , o número aleatório de comparações (na expectativa, na pior das hipóteses, no melhor algoritmo possível) é sempre estritamente melhor que o melhor algoritmo determinístico (essencialmente, porque Nunca é uma potência de dois) . Mas quanto melhor? $n>2$ $n!$

ds.algorithms reference-request sorting

— David Eppstein
fonte

l g (n!) + o (n)

$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$

Como sua pergunta é: "O que se sabe?" Aqui está uma coisa:

http://arxiv.org/abs/1307.3033

$\log n! +cn$ $c$

— Pat Morin
fonte

n \log n - 1.415 n

$n\log n-1.415n$

n \log n - 1.399 n

$n\log n-1.399n$

Não sou especialista, a única razão que conheço é John Iacono. Penso, porém, que isso tem a ver com flutuações baseadas em quão próximo n é (4/3 vezes) de uma potência de 2. Se você olhar para a análise na página 71 aqui, link.springer.com/content/pdf /10.1007%2FBF01934989.pdf , o limite -1.415n parece manter-se apenas quando n = floor ((4/3) 2 ^ k) para algum número inteiro k. Talvez o -1.329n acoplado em Knuth seja o melhor para todos os n?

— Pat Morin

Definitivamente, existem flutuações, mas eu pensei que (4/3) 2 ^ k era o pior caso e era melhor para outros casos.

— David Eppstein