Algoritmo aleatório que "parece" determinístico?

Existe um exemplo interessante de um algoritmo aleatório para um problema de pesquisa que sempre gera a mesma resposta (correta), independentemente de sua aleatoriedade interna, mas que explora a aleatoriedade para que seu tempo de execução esperado seja melhor que o tempo de execução do mais rápido conhecido algoritmo determinístico para o problema?

Em particular, eu queria saber se existe um algoritmo para encontrar um primo entre n e 2n. Não há algoritmo determinístico de tempo polinomial conhecido. Existe um algoritmo aleatório trivial que funciona apenas amostrando números aleatórios no intervalo, que funciona graças ao teorema do número primo . Mas existe um algoritmo do tipo acima cujo tempo de execução esperado é intermediário entre os dois?

EDIT: Para refinar um pouco a minha pergunta, eu queria um algoritmo para um problema em que houvesse muitas saídas corretas possíveis e, no entanto, o algoritmo aleatório decidisse por um independente de sua aleatoriedade. Sei que a pergunta provavelmente não está totalmente especificada ...

Shafi Goldwasser me comunicou que ela e seus co-autores estão investigando exatamente esses algoritmos para problemas teóricos dos números! O seguinte é conhecido:

1. Lenstra mostrou que existe um algoritmo para encontrar um mod quadrático sem resíduo em um dado primo.

2. Gat e Goldwasser mostraram que existe um algoritmo para encontrar um gerador de , em que é um dado primo da forma para um primo . p2q+1$\mathbb{Z}_p^*$$p$$2q + 1$$q$

(Não conheço referências citáveis.) Também há pesquisas em andamento sobre a pergunta que fiz sobre encontrar um primo entre e .2 $n$$2n$

EDIT: O artigo de Gat e Goldwasser está agora publicado: http://eccc.hpi-web.de/report/2011/136/ . Este artigo, porém, não resolve a questão de encontrar um primo entre e .2 $n$$2n$

As estruturas de dados aleatórios contam?

Existe a lista de pulos, que é uma estrutura de dados do mapa associativo classificado.

Seu tempo de execução para operações comuns, como inserção, recuperação e exclusão, é (no caso esperado) igual ao das árvores de pesquisa balanceadas - ou seja, . No entanto, às vezes se afirma que a estrutura de dados tem um fator constante muito melhor do que as implementações da árvore de pesquisa quando feitas corretamente (isso depende criticamente de uma fonte boa e eficiente de aleatoriedade). O melhor fator constante provavelmente resulta do fato de que nenhum reequilíbrio (ou qualquer operação semelhante) deve ocorrer.$O(\log n)$

E o algoritmo simplex de tempo polinomial aleatório de Kelner e Spielman? Encontra o vértice ideal de um programa linear. Não se conhece nenhum algoritmo simplista determinístico que seja comprovadamente executado em tempo polinomial e, para muitos deles, podem ser construídas instâncias patológicas que fazem o algoritmo levar um tempo exponencial.

Obviamente, existem algoritmos de ponto interior em tempo polinomial, portanto não é exatamente o que você está procurando.

Considere uma árvore binária completa com todas as folhas contendo 0, exceto uma folha que contém 1. A tarefa é encontrar a folha que contém 1. Em qualquer algoritmo de pesquisa determinístico, é possível construir uma família infinita de árvores (uma para cada n ) para o qual o algoritmo deve verificar todas as folhas. Portanto, para essa família de pior caso, o algoritmo determinístico esperava o tempo de execução 2 n .$2^n$$n$$2^n$

Agora considere um algoritmo que escolhe aleatoriamente a primeira folha de maneira aleatória e, em seguida, verifica todas as folhas sucessivas deterministicamente (envolvendo o início). Isso encontrará o 1 após examinar a metade de todas as folhas, em média. Portanto, o algoritmo aleatório esperava o tempo execução 2 n - 1 .$2^{n-1}$

Isso se qualifica?

$\mathbb{F}_p$$\log p$$p$

$\log p$

Havia um projeto polímata abordando uma questão relacionada: http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Finding_primes

Em relação à sua primeira pergunta, pensei no Quicksort primeiro, mas isso deve ser óbvio.

Existe um algoritmo de correspondência de strings ( Nebel, 2006 ) que utiliza idéias probabilísticas. Eu sei se essa é a abordagem mais rápida existente, e você aparentemente precisa de algumas amostras para treinamento.

O seguinte documento do STACS '97 pode ser interessante para o seu caso: A complexidade da geração de instâncias de teste .

Resumo: Recentemente, Watanabe propôs uma nova estrutura para testar a correção e o comportamento médio de caso de algoritmos que pretendem resolver um determinado problema de pesquisa de NP com eficiência em média. A idéia é gerar aleatoriamente instâncias certificadas de maneira que se assemelhe à distribuição subjacente. Discutimos essa abordagem e mostramos que instâncias de teste podem ser geradas para todos os problemas de pesquisa do NP com consultas não adaptáveis ​​a um oracle do NP. Além disso, apresentamos os tipos de geradores de instância de teste de Las Vegas e Monte Carlo e mostramos que esses geradores podem ser usados ​​para descobrir se um algoritmo está correto e eficiente em média. De fato, não é difícil construir geradores Monte Carlo para todos os problemas de pesquisa de RP, assim como geradores de Las Vegas para todos os problemas de pesquisa de ZPP. Por outro lado,

Especialmente, veja a página 384, no Corolário 12:

$\rm{ZPP}$$\rm{RP}$$\rm{ZPP}$$\rm{NP}$$\rm{NP} \cap \rm{coNP}$

$\frac{1}{n^c}$$\text{polylog}(n)$