Relaxando

Eu tenho uma pergunta de viabilidade que pode ser estruturada da seguinte maneira. Recebi um ponto em um espaço vetorial dimensional e quero encontrar o ponto mais próximo a que satisfaça um conjunto de " restrições" do formulário $p$ $d$ $q$ $p$ $\ell_0$

Dado um conjunto , no máximo um de pode ser diferente de zero. $S \in [1\ldots d]$ $\{q_j, j \in S\}$

A noção de proximidade varia, mas por enquanto é suficiente assumir uma distância conveniente como . $\ell_2^2$

Existe algum relaxamento conhecido das restrições lineares que é "bom" no sentido de fornecer um polítopo "perto o suficiente" para se aproximar das restrições originais, onde também sou bastante flexível na definição de "perto o suficiente"

ds.algorithms approximation-algorithms linear-programming

— Suresh Venkat
fonte

As restrições podem depender não linearmente de

p

$p$

— Warren Schudy

Você pode elaborar que tipo de politopo você está procurando? O casco convexo de possíveis pontos

pontos com no máximo um diferente de zero coordenada é

, então não há nenhuma esperança de uma boa aproximação poliédrica do conjunto de possíveis

pontos.

q

$q$

R^{d}

$\mathcal{R}^d$

q

$q$

— Warren Schudy

for uma constante conhecida antecipadamente, para qualquer constante de distância

é possível calcular facilmente os pontos possíveis dentro de

(observando apenas uma única restrição). Para algumas métricas, os pontos possíveis serão uma união de politopos; para outras pessoas, talvez seja necessário aproximar essas pessoas ou usar um oráculo de separação. Em seguida, escreva restrições lineares que codifiquem

dentro do casco convexo delas.

p

$p$

δ

$\delta$

δ

$\delta$

p

$p$

q

$q$

— Warren Schudy

@ warren: as restrições dependem linearmente de p, mas p em si não é uma constante (é a entrada do problema). As restrições são do tipo acima ou são restrições lineares no q_i.

— precisa

Não sei se entendi o problema corretamente, mas, como está escrito, o problema parece admitir várias simplificações e, em particular, o problema no caso ℓ ₂² é equivalente à cobertura de vértices com peso mínimo, se não me engano.

Sem perda de generalidade, podemos assumir que | S | = 2 em cada restrição, porque uma restrição com | S |> 2 é equivalente ao conjunto de restrições, onde S é executado sobre todos os pares de elementos no conjunto original S . Portanto, as restrições ℓ ₀ podem ser visualizadas como um gráfico G com d vértices. Usando o gráfico G , os constrangimentos podem ser reescrita como se segue: o conjunto dos vértices correspondente às coordenadas i com Q _i = 0 deve ser uma cobertura de vértices de L .
Suponha que a distância seja definida por ℓ ₂² ou alguma norma. Nesse caso, qualquer ponto q pode ser transformado em um ponto q ′ que satisfaça a cada i , q ′ _i ∈ {0, p _i }, simplesmente configurando e essa transformação nunca aumenta a distância do ponto p $q_{Eu}^{'} = {\begin{cases} p_{Eu}, & q_{Eu} \neq 0 0, \\ 0 0, & q_{Eu} = 0 0, \end{cases}$ $q'_i = \begin{cases} p_i, & q_i \ne 0, \\ 0, & q_i = 0, \end{cases}$ . Em particular, se a distância é a soma da distância em coordenadas (como no caso da distância ℓ ₂² ), o problema é exatamente o mesmo que a cobertura de vértice com peso mínimo.

Quanto ao relaxamento do LP do problema de cobertura de vértices, uma pesquisa rápida leva, por exemplo, às notas da aula (aula 9) de Uriel Feige .

— Tsuyoshi Ito
fonte

Bastante interessante. Eu gosto da observação sobre | S | não precisa ter mais de 2 anos

— Suresh Venkat

Há uma coisa que não funciona muito bem. As variáveis em geral podem ser arbitrárias (não entre zero e um). Portanto, você não pode realmente codificar as restrições de LP para as "variáveis definidas como zero devem formar uma cobertura de vértice". Isso se torna um problema (que eu deveria ter mencionado) porque existem outras restrições (lineares) nas coordenadas que precisam ser incorporadas também.

— Suresh Venkat

@ Suresh: Se você realmente acha que o mencionou, sempre pode modificar a pergunta.

— Tsuyoshi Ito

@Suresh: Eu pretendia dizer "Se você realmente acha que deveria ter mencionado isso ...".

— Tsuyoshi Ito