Representando a função booleana por um polinômio

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Supondo que tenhamos uma função booleana de . É claro que um polinômio multivariado real tal que em pode ser multilinear. Quais são algumas classes interessantes de funções booleanas para as quais o grau mínimo de é conhecido? Temos exemplos concretos? $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $p(x)$ $f(x)=p(x)$ $x\in\{0,1\}^n$ $p(x)$

boolean-functions

— T ....
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Por exemplo: cstheory.stackexchange.com/questions/25291/…

— Andrej Bauer

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Se você não está familiarizado com isso, há muito trabalho relacionado ao "grau aproximado", que pergunta: qual é o grau mínimo de um polinômio que "se aproxima" de ? Não sei o suficiente para dar referências específicas, mas outros o fariam.

f

$f$

— usul 13/10

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Qualquer função que tenha correlação diferente de zero com paridade tem o grau . Ou seja, se , a expansão multilinear exclusiva de contém o monômio . De fato, como , a expansão de Fourier de (expressa em termos de produtos de ) conterá o termo , e o monômio correspondente não aparece em nenhum outro termo. $n$

\sum_{x \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{\sum_{i} x_{i}} f (x) \neq 0

$\sum_{x \in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i}f(x) \neq 0$

f

$f$

x_{1} \dots x_{n}

$x_1\cdots x_n$

(- 1)^{x_{i}} = \frac{1 - x_{i}}{2}

$(-1)^{x_i} = \frac{1-x_i}{2}$

f

$f$

\frac{1 - x_{i}}{2}

$\frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} \frac{1 - x_{i}}{2}

$\prod_i \frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} x_{i}

$\prod_i x_i$

Nisan e Szegedy provaram que funções de grau dependem de no máximo variáveis. Para , podemos ser mais precisos: a função deve depender de no máximo uma coordenada. $d$ $d2^d$ $d = 1$

— Yuval Filmus
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Este é um ponto útil. O que é uma boa referência para este tópico?

— T ....

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Você pode dar uma olhada no livro recente de Ryan O'Donnell, Analysis of Boolean functions.

— Yuval Filmus 14/10

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Classes de funções booleanas com apresentação multilinear exclusiva contêm

Funções pseudo-booleanas sobre reais (teorema 1.34 [1])
Função booleana sobre o cubo unitário $[0,1]^n$

fundo

"Toda função booleana pode ser representada por uma forma normal disjuntiva e por uma forma normal conjutiva". (Teorema 1.4 (p.16 [1])

portanto, toda forma normal disjuntiva (DNF) da forma pode ser escrita como e e definições adicionais na página 18 do livro, como subscritos. Você pode representar todas as funções booleanas em em termos de powerset e soma direta modo que (THM1.33). $\vee (\wedge {x} \wedge \bar{x} )$ $\vee (\prod x \prod (1-x))$ $\sum c \prod x$ $F$ $\mathcal B^n$ $\mathcal P(N)$ $\oplus$ $f(x_1,\ldots,x_n)=\oplus_{A\in\mathcal P(N)} c(A)\prod_{i\in A} x_i$

e suas aplicações contêm

$[0,1]^n$
$[0,1]^n$
(circuitos) Complexidade da função booleana da computação polinomial multi-linear
(análise de Fourier) Limites inferiores para Polinômios que computam as funções booleanas

Referências

[1] Teoria, algoritmos e aplicações de funções booleanas (Yves Crama, Peter L. Hammer, 2011)

— hhh
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Sim, obviamente. Agora, como isso responde à pergunta?

— Emil Jerabek