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O que acontece se definirmos ${\bf PPAD}$ de tal modo que em vez de um circuito polytime Turing-máquina / polysize, um logspace Turing-máquina ou um ${\bf AC^0}$ circuito codifica o problema?

Recentemente dando algoritmos mais rápidos para Circuit satisfiability para pequenos circuitos acabou por ser importante, então eu pergunto o que acontece com as versões rectricted de ${\bf PPAD}$ .

$\def\ac{\mathrm{AC}^0}$Sim, $\ac\mathrm{PAD}=\mathrm{PPAD}$ . (Aqui e abaixo, eu estou supondo que $\ac$ é definido como uma classe uniforme. Claro que, com nonuniform $\ac$ que tínhamos acabado de chegar $\mathrm{PPAD/poly}$ .)

A ideia básica é bastante simples: $\ac$ pode fazer um passo de cálculo de uma máquina de Turing, portanto, podemos simular um tempo polinomial borda calculável por um polinomial longo da linha $\ac$ bordas -computable. Por uma extensão adicional da idéia, pode-se simular arestas computáveis ​​em tempo poli com um oráculo do PPAD, ou seja, o PPAD é fechado sob redutibilidade de Turing; esse argumento é dado em Buss e Johnson .

Existem muitas definições equivalentes de PPAD na literatura que diferem em vários detalhes, portanto, deixe-me corrigir uma aqui por definição. Uma pesquisa NP problema $S$ é em PPAD se houver um polinómio $p(n)$ , e as funções de tempo polinomial $f(x,u)$ , $g(x,u)$ , e $h(x,u)$ com as seguintes propriedades. Para cada entrada $x$ de comprimento $n$ , $f$ e $g$ representam um gráfico direcionado G x = ( Vx , E x ) sem auto-loops em que V x = { 0 , 1 } p ( n ) , e cada nó tem dentro e fora de grau no máximo 1 . A representação é tal que, se ( u , v ) ∈ E x , em seguida, f ( x , u ) = v e g ( x , v ) = u u tem a graus 0 ,$G_x=(V_x,E_x)$$V_x=\{0,1\}^{p(n)}$$1$$(u,v)\in E_x$$f(x,u)=v$$g(x,v)=u$ ; E se$u$$0$ f ( x , u ) = u ; e se u possui grau 0 , g ( x , u ) = u .$f(x,u)=u$$u$$0$$g(x,u)=u$

O nó 0 p ( n ) ∈ V x é uma fonte (ou seja, possui grau 0 e grau 1 ). Se u ∈ V x é qualquer fonte ou coletor (grau 1 , grau 0 ) diferente de 0 p ( n ) , então h ( x , u ) é uma solução para S ( x ) .$0^{p(n)}\in V_x$$0$$1$$u\in V_x$$1$$0$$0^{p(n)}$$h(x,u)$$S(x)$

We can define $\ac\mathrm{PAD}$ similarly, except we require $f,g,h$ to be in $\mathrm{FAC}^0$.

I will ignore $h$ in the construction for simplicity. (It is not hard to show that one can take it to be a projection, hence $\ac$-computable.)

So, consider a PPAD problem $S$ defined by $f$ and $g$, and fix Turing machines computing $f$ and $g$ in time $q(n)$. For any $x$, we define a directed graph $G'_x=(V'_x,E'_x)$ whose vertices are sequences of the following form:

• $(0,u,c_1,\dots,c_k)$, where $u\in V_x$, $0\le k\le q(n)$, and $c_1,\dots,c_k$ are the first $k$ configurations in the computation of $f(x,u)$.

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)$, where $u,v\in V_x$, $0\le k\le q(n)$, $f(x,u)=v$, $c_1,\dots,c_{q(n)}$ is the full computation of $f(x,u)$, and $d_1,\dots,d_k$ are the first $k$ steps in the computation of $g(x,v)$.

• $(1,v,d_1,\dots,d_k)$, where $0^{p(n)}\ne v\in V_x$, $0\le k\le q(n)$, and $d_1,\dots,d_k$ are the first $k$ configurations in the computation of $g(x,v)$.

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$, where $u,v\in V_x$, $v\ne0^{p(n)}$, $0\le k\le q(n)$, $g(x,v)=u$, $d_1,\dots,d_{q(n)}$ is the computation of $g(x,v)$, and $c_1,\dots,c_k$ are the first $k$ steps in the computation of $f(x,u)$.

$E'_x$ consists of the edges in $V'_x\times V'_x$ of the following kinds:

• $(0,u,c_1,\dots,c_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)})\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v)$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{q(n)})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{q(n)})$ if $f(u)=v$ and $g(v)=u$ (i.e., either $(u,v)\in E_x$, or $u=v$ is an isolated vertex)

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u)\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)})$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_k)$

• $(1,u)\to(0,u)$

Formally, let $r(n)$ be a polynomial bounding the lengths of binary representations of all the sequences above (such that we can extend or shorten sequences, and extract their elements with $\ac$-functions); we actually put $V'_x=\{0,1\}^{r(n)}$, and we let all vertices except the above-mentioned sequences to be isolated.

It is easy to see that the functions $f'$, $g'$ representing $G'_x$ are $\ac$-computable: in particular, we can test in $\ac$ whether $c_1,\dots,c_k$ is a valid partial computation of $f(x,u)$, we can compute $c_{k+1}$ from $c_k$, and we can extract the value of $f(x,u)$ from $c_{q(n)}$.

The sinks in $G'_x$ are nodes of the form $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},u,d_1,\dots,d_{q(n)})$ where $u$ is a sink in $G_x$. Likewise, sources are $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},v,c_1,\dots,c_{q(n)})$ where $v$ is a source in $G_x$, except that in the special case $v=0^{p(n)}$, we have pruned the line early and the corresponding source in $G'_x$ is just $(0,0^{p(n)})$. We can assume the encoding of sequences is done in such a way that $(0,0^{p(n)})=0^{r(n)}$.

Thus, $f'$ and $g'$ define an $\ac\mathrm{PAD}$ problem $S'$, and we can extract a solution to $S(x)$ from a solution to $S'(x)$ by an $\ac$-function $h'$ which outputs the second component of a sequence.