Diâmetro dos gráficos de Cayley dos subgrupos de

Babai e Seress provaram que, dado um subgrupo e um grupo gerador de , qualquer permutação em pode ser escrita como um produto de geradores e seus inversos de comprimento . Esse limite é ideal, pois tem um elemento de ordem . S G G e ( 1 + o ( 1 ) ) $G \leq S_n$$S$$G$$G$ Sne(1+o(1))$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$$S_n$$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$

O fato clássico de que todo elemento em tem ordem no máximo , combinado com o resultado de Babai e Seress, mostra que, dado um subgrupo e um grupo gerador de , qualquer permutação em pode ser escrita como um produto de geradores de comprimento no máximo .e ( 1 + o ( 1 ) ) $S_n$ G≤SnSGGe2(1+o(1))$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$$G \leq S_n$$S$$G$$G$$e^{2(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$

Podemos melhorar o limite superior para ?$e^{2(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$

Essa questão foi inspirada na pergunta recente Automata e um tipo de lema de bombeamento na função de transição de estado .

A resposta é sim, podemos melhorar o limite superior para . Ele foi provado em um mais recentepapelde Babai (Corolário 2.9).$\mathrm{e}^{(1 + o(1))\sqrt{n\ln n}}$