Como é conhecida essa variante do problema de cobertura do conjunto?

A entrada é um universo e uma família de subconjuntos de , digamos, . Nós assumimos que os subconjuntos em pode cobrir , ou seja, . $U$ $U$ ${\cal F} \subseteq 2^U$ ${\cal F}$ $U$ $\bigcup_{E\in {\cal F}}E=U$

Uma sequência de cobertura incremental é uma sequência de subconjuntos em , digamos, , isso satisfaz ${\cal F}$ ${\cal A}=\{E_1,E_2,\ldots,E_{|{\cal A}|}\}$

1) , $\forall E\in {\cal A}, E\in {\cal F}$

2) todos os recém-chegado tem nova contribuição, ou seja, , ; $\forall i>1$ $\bigcup_{j=1}^{i-1}E_i \subsetneq \bigcup_{j=1}^{i}E_i$

O problema é encontrar uma sequência de cobertura incremental de comprimento máximo (ou seja, com o máximo ). Note-se que uma sequência de comprimento máximo deve, eventualmente, cobrir , ou seja, . $|{\cal A}|$ $U$ $\bigcup_{E\in {\cal A}}E=U$

Tentei encontrar um algoritmo ou um algoritmo aproximado para encontrar a sequência de cobertura incremental mais longa. Eu só estava me perguntando o que essa variante do problema de cobertura do conjunto é conhecida como. Obrigado!

— Cech Cohomology
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Você precisa que sua família de subconjuntos

cubra o universo

? Porque é claro que você pode ter um problema de capa de conjunto mais difícil, pois procura uma capa de conjunto com propriedades adicionais. Em outras palavras, a cobertura do conjunto é reduzida ao seu problema. No wiki da capa do conjunto, também estão os resultados de falta de aproximação para a capa do conjunto.

A

$\cal{A}$

U

$\cal{U}$

— Harry

Apenas uma observação (pequena demais para ser uma resposta): quando seus subconjuntos são do tamanho dois, o que você procura é essencialmente uma floresta de abrangência.

— 22614 David Eppstein

Provavelmente não é novo no PO, mas aqui estão algumas observações. (1) O valor ideal é sempre no máximo | U |. Se o valor ideal é igual a | U | ou não, pode ser decidido eficientemente pelo algoritmo ganancioso que tenta minimizar o número de elementos cobertos. (2) O mesmo algoritmo guloso também funciona se todos os conjuntos em F forem do tamanho dois, veja o comentário de David Eppstein. (3) O mesmo algoritmo ganancioso não funciona em geral (suspiro). Um contra-exemplo: F = {{1,2,3}, {1,4,5,6}, {2,4,5,6}, {3,4,5,6}}.

— Tsuyoshi Ito 25/10

O problema não parece realmente um problema de cobertura de conjunto ... Mais como um híbrido entre correspondência e correspondência induzida em gráficos bipartidos. Uma boa reformulação equivalente é que uma família é ruim se nenhum elemento for coberto por exatamente um conjunto da família. O problema é encontrar a maior subfamília

modo que

não tenha uma subfamília ruim.

A

${\cal A}$

F

${\cal F}$

A

${\cal A}$

— Daniello 28/10

@Neal Young

não é ruim porque

é coberto por exatamente um conjunto (a saber

F

${\cal F}$

b

$b$

{a, b}

$\{a,b\}$

— Daniello 23/11

Respostas:

Aqui eu mostro que o problema é NP-completo.

Convertemos um CNF em uma instância do seu problema da seguinte maneira. Suponha que as variáveis do CNF sejam 's e as cláusulas sejam ' s, onde . Vamos onde todos os conjuntos na união são completamente disjuntos. De fato, $n$ $x_i$ $m$ $C_j$ $n<m$ $U=\cup_i (A_i\cup B_i\cup Z_i)$ e, enquanto é qualquer conjunto de cardinalidade. Além disso significam e correcção para cada uma família crescente de comprimentodentro dela, indicado por $A_i=\{a_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{a_{i,0}\}$ $B_i=\{b_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{b_{i,0}\}$ $Z_i$ $k=2n+1$ $Z=\cup_i Z_i$ $Z_i$ $k$ para. Para todas as variáveis , adicionamosconjuntos para , cada conjunto da forma e . Para cada cláusula , podemos adicionar um conjunto de , que contém, e para todos os elemento $Z_{i,l}$ $l=1..k$ $x_i$ $2k$ $\mathcal F$ $A_i \cup Z_{i,l}$ $B_i \cup Z_{i,l}$ $C_j$ $\mathcal F$ $Z$ $x_i\in C_j$ $\{a_{i,j}\}$ e para cada elemento . $\bar x_i\in C_j$ $\{b_{i,j}\}$

Suponha que a fórmula seja satisfatória e fixe uma tarefa satisfatória. Em seguida, escolher os conjuntos da forma ou , dependendo se é verdadeira ou não. Esses são conjuntos incrementais. Agora adicione os conjuntos correspondentes às cláusulas. Eles também aumentam o tamanho, pois as cláusulas são satisfatórias. Finalmente, podemos até mesmo adicionar mais conjuntos (um para cada variável) para fazer o cover sequence . $k$ $A_i \cup Z_{i,l}$ $B_i \cup Z_{i,l}$ $x_i$ $nk$ $m$ $k$ $U$

Agora, suponha que conjuntos sejam colocados em uma sequência incremental. Observe que no máximo conjuntos correspondentes a podem ser selecionados para cada . Portanto, se não houver conjuntos de cláusulas na sequência incremental, no máximo poderá ser selecionado, o que é muito pouco. Observe que, assim que um conjunto de cláusulas é selecionado, podemos escolher no máximo dois conjuntos correspondentes a cada , um total de no máximo conjuntos. Portanto, temos que escolher pelo menos $n(k+1)+m$ $k+1$ $x_i$ $x_i$ $n(k+1)$ $x_i$ $2n$ conjuntos de variáveis antes que qualquer conjunto de cláusulas seja selecionado. Mas como podemos escolher no máximo para cada , isso significa que, para cada um, escolhemos pelo menos , como . Isso determina o "valor" da variável, portanto, podemos escolher apenas cláusulas "verdadeiras". $n(k-1)$ $k+1$ $x_i$ $1$ $k=2n+1$

Atualização: valor alterado de de para conforme apontado por Marzio. $k$ $n$ $2n+1$

— domotorp
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Um esclarecimento: Eu rapidamente verificados a construção para a fórmula insatisfatível

(

), mas parece que podemos construir uma sequência de

de aumentando conjuntos de

. Provavelmente cometi um erro: temos

x_{1} \land \neg x_{1}

$x_1 \land \neg x_1$

n = k = 1, m = 2

$n=k=1, m=2$

n (k + 1) + m = 4

$n(k+1)+m = 4$

F

$\mathcal F$

F = {{a_{1, 0}, a_{1, 1}, a_{1, 2}, z_{1}}, {b_{1, 0}, b_{1, 1}, b_{1, 2}, z_{1}}, {a_{1, 1}, z_{1}}, {b_{1, 2}, z_{1}}}

$\mathcal F= \{ \{ a_{1,0}, a_{1,1}, a_{1,2}, z_1 \}, \{ b_{1,0}, b_{1,1}, b_{1,2}, z_1\}, \{ a_{1,1}, z_1 \}, \{ b_{1,2}, z_1 \} \}$

— Marzio De Biasi

Conhecendo você e eu, tenho certeza que o erro é meu ... Acho que devemos obter

F = {{a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}}, {a_{1, 1}, z_{1}}, {b_{1, 2}, z_{1}}}

${\mathcal F}=\{\{a_{1,0},a_{1,1},z_1\}, \{b_{1,0},b_{1,2},z_1\},\{a_{1,1},z_1\}, \{b_{1,2},z_1\}\}$ , mas é claro que ainda é um problema. OK, vejo onde cometi o erro, corrijo em um minuto, thx!

— Domotorp 4/12/14

Ok, vou dar uma olhada amanhã! Apenas uma nota, você pode escrever (em um comentário) que é

para

e qual é o "valor-alvo" para o comprimento da seqüência de cobertura (é isso k)? Porque, na resposta modificada, você define

primeiro e depois fala sobre

conjuntos são colocados em uma sequência incremental ; está correto (ainda não tentei a redução)?

F

$\mathcal F$

x_{i} \land \neg x_{i}

$x_i \land \neg x_i$

k = 2 n + 1

$k = 2n+1$

n (k + 1) + m = 2 n^{2} + 2 n + m

$n(k+1)+m = 2n^2+2n + m$

— Marzio De Biasi

F = {{a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1},}, {a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1}, z_{2}}, {a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}, z_{2}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}, {a_{1, 1}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}, {b_{1, 2}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}}

${\mathcal F}=\{\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,\},\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,z_2\},\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,z_2,z_3\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1,z_2\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1,z_2,z_3\},\{a_{1,1},z_1,z_2,z_3\},\{b_{1,2},z_1,z_2,z_3\}\}$

n (k + 1) + m = 6

$n(k+1)+m=6$

5

$5$

$\mathcal{A}$ $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ $\bigcup_{X \in \mathcal{B}} X$

$E_1, \ldots, E_m$ $\mathcal{B}$ $E_i$ $\mathcal{B}$ $E_i$

$\mathcal{A}$

Este é um problema bastante natural ...

Lembrete rápido: no problema de empacotamento de conjuntos, dada uma família de conjuntos, encontre o subconjunto máximo de conjuntos que atenda a algumas restrições adicionais (por exemplo, nenhum elemento é coberto mais de 10 vezes, etc.).

— Sariel Har-Peled
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Esta resposta está apenas provando que a pergunta é natural ou há algo mais que você também afirma?

— Domotorp

É declarar isso de uma maneira mais simples. Não?

— Sariel Har-Peled

Sim, eu concordo com isso.

— Domotorp