Qualquer polinômio difícil de contar, mas fácil de decidir?

Todo circuito aritmético monótono , isto é, um circuito , calcula algum polinômio multivariado F ( x 1 , … , x n ) com coeficientes inteiros não negativos. Dado um polinômio f ( x 1 , … , x n ) , o circuito$\{+,\times\}$$F(x_1,\ldots,x_n)$$f(x_1,\ldots,x_n)$

• Calcula se F ( um ) = f ( a ) é válido para todos uma ∈ N N ; $f$$F(a)=f(a)$$a\in \mathbb{N}^n$
• conta se F ( a ) = f ( a ) vale para todos a ∈ { 0 , 1 } n ; $f$$F(a)=f(a)$$a\in\{0,1\}^n$
• decide se F ( a ) > 0 exatamente quando f ( a ) > 0 é válido para todos a ∈ { 0 , 1 } n . $f$$F(a)>0$$f(a)>0$$a\in\{0,1\}^n$

Conheço polinômios explícitos (mesmo multilineares), mostrando que a diferença de tamanho de circuito "calcula / conta" pode ser exponencial. Minha pergunta diz respeito à diferença "conta / decide".$f$

Pergunta 1: Alguém conhece algum polinômio exponencialmente mais difícil de contar do que decidir por { + , × } -circuitos? $f$$\{+,\times\}$

Como possível candidato, pode-se pegar o polinômio PATH cujas variáveis ​​correspondem às arestas do gráfico completo em { 1 , … , n } , e cada monômio corresponde a um caminho simples do nó 1 ao nó n em K n . Esse polinômio pode ser decidido por um circuito do tamanho O ( n 3 ) implementando, digamos, o algoritmo de programação dinâmica Bellman-Ford, e é relativamente fácil mostrar que toda computação em circuito { + , × $K_n$$\{1,\ldots,n\}$$1$$n$$K_n$$O(n^3)$$\{+,\times\}$PATH deve ter o tamanho . $2^{\Omega(n)}$

Por outro lado, cada circuito de contagem PATH resolve o problema do caminho, isto é, conta o número de 1 Para- n caminhos no especificado pelo correspondente 0 - 1 subgráfico entrada do K n . Esse é o chamado problema # P -complete . Assim, todos "acreditamos" que PATH não pode ter nenhum circuito { + , × } contando com tamanho polinomial. O "único" problema é provar isso ... $\#$$1$$n$$0$$1$$K_n$$\#$$\{+,\times\}$

Posso mostrar que todo circuito conta um HP polinomial de caminho hamiltoniano relacionado requer tamanho exponencial. Monomios deste polinómio correspondem a 1 Para- n caminhos em K n contendo todos os nós. Infelizmente, a redução de # HP para # PATH da Valiant exige o cálculo da inversa da matriz de Vandermonde e, portanto, não pode ser implementada por um circuito { + , × } .$\{+,\times\}$$1$$n$$K_n$$\#$$\#$$\{+,\times\}$

Pergunta 2: Alguém viu uma redução monótona de HP para # PATH? $\#$$\#$

E finalmente:

Pergunta 3: Uma "versão monótona" da classe P foi considerada? $\#$

NB Note que eu estou falando sobre uma classe muito restrita de circuitos: monótonos circuitos aritmética! Na classe dos circuitos , a pergunta 1 seria injusta de perguntar: não há limites inferiores maiores que Ω ( n log n ) para esses circuitos, mesmo quando necessário para calcular um determinado polinômio em todos os circuitos. entradas em R n , são conhecidas. Além disso, na classe de tais circuitos, um "análogo estrutural" da questão 1 - existem polinômios # P completos que podem ser decididos pelo tamanho poli { + , $\{+,-,\times\}$$\Omega(n\log n)$$\mathbb{R}^n$$\#$ -circuitos? - tem uma resposta afirmativa. Tal é, por exemplo, o polinômio permanente PER = ∑ h ∈ S n ∏ n i = 1 x i , h ( i ) . $\{+,-,\times\}$$=\sum_{h\in S_n}\prod_{i=1}^n x_{i,h(i)}$

ADICIONADO: Tsuyoshi Ito respondeu à pergunta 1 com um truque muito simples. Ainda assim, as perguntas 2 e 3 permanecem em aberto. O status de contagem do PATH é interessante por si só, porque é um problema de DP padrão e porque é # P-complete.

(Estou postando meus comentários como resposta em resposta à solicitação do OP.)

Quanto à questão 1, seja f _n : {0,1} ⁿ → ℕ uma família de funções cujo circuito aritmético requer tamanho exponencial. O mesmo acontece com f _n +1, mas é fácil decidir f _n +1 por um circuito aritmético monotônico trivial. Se você preferir evitar constantes em circuitos aritméticos monotônicos, então f _n : {0,1} ⁿ → ℕ seja uma família de funções, de modo que o circuito aritmético de f _n exija tamanho exponencial ef _n (0,…, 0) = 0 e considere f _n + x ₁ +… + x _n .