Conjecturas de longa data mais tarde provadas trivialmente por uma implicação

Eu gostaria de saber se houve conjecturas que há muito não foram comprovadas no TCS, que mais tarde foram provadas por uma implicação de outro teorema, que podem ter sido mais fáceis de provar.

Erdös e Pósa provaram que, para qualquer número inteiro e qualquer gráfico , possui ciclos disjuntos ou existe um conjunto de tamanhos no máximo vértices modo que é uma floresta. (em sua prova ).G G k f ( k ) S ∈ G G ∖ S f ( k ) ∈ O ( k ⋅ log k $k$$G$$G$$k$$f(k)$$S\in G$$G\setminus S$$f(k) \in O(k \cdot \log k)$

A propriedade Erdös e Pósa de um gráfico fixo conhecido como o seguinte (não uma definição formal):$H$

A classe de graphs admite a propriedade Erdös-Pósa se houver uma função tal que para todo gráfico e para qualquer e para qualquer gráfico existe cópia isomórfica disjunta (menor ou subdivisão) de em ou existe um conjunto de vértices , de modo que e não possuem cópia isomórfica de . f H ∈ C k ∈ Z G k H G S ∈ G | S | ≤ f ( k ) G ∖ S $\mathcal{C}$$f$$H\in \mathcal{C}$$k \in \mathbb{Z}$$G$$k$$H$$G$$S\in G$$|S|\le f(k)$$G\setminus S$$H$

Após o resultado de Erdös e Pósa para uma classe de ciclos que estão admitindo essa propriedade, foi uma questão em aberto encontrar uma classe apropriada . No gráfico, o menor V provou que todo gráfico plano tem uma largura de árvore delimitada ou contém uma grande grade como menor, ao ter o teorema da grade em mãos, eles mostraram que a propriedade Erdös e Pósa mantém (para menor) se e somente se é uma classe de gráficos planares. O problema ainda está aberto para subdivisão, no entanto. Mas a prova do teorema menor é de alguma forma simples e, pelo que sei, não há prova sem o uso do teorema da grade.$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

Resultados recentes para dígitos , fornece respostas para perguntas abertas de longa data na área semelhante para dígitos. por exemplo, uma pergunta muito básica foi a de que existe uma função tal que para qualquer gráfico e números inteiros , podemos encontrar um conjunto de no máximo vértices tais que não tem ciclo de comprimento, pelo menos, ou existem ciclos disjuntos de comprimento, pelo menos, em . Este é apenas um caso especial, mas paraG k , l S ⊆ V ( G ) f ( k + l ) G - S l k l G l = $f$$G$$k,l$$S\subseteq V(G)$$f(k+l)$$G-S$$l$$k$$l$$G$$l=2$era conhecido como conjectura de um jovem. Antes disso, a conjectura de Younger era comprovada por Reed et al., Com uma abordagem bastante complicada.

Vale ressaltar que ainda existem casos não triviais em dígrafos. por exemplo, o Teorema 5.6 no artigo acima é apenas uma extensão positiva da conjectura dos jovens para uma pequena classe de dígrafos fracamente conectados, mas com o conhecimento e as ferramentas matemáticas que temos, não é trivial (ou talvez não conheçamos um argumento simples para isso). ) Talvez fornecendo uma melhor caracterização para esses gráficos, haja uma maneira mais fácil de provar isso.

o título da pergunta refere-se a "implicações triviais", mas o conteúdo não especifica exatamente esse critério; portanto, essa é uma mensagem meio confusa. Um item / exemplo semi-famoso que se aproxima do tema geral é a prova da Conjectura de Gráfico Perfeito Forte (então com ~ 4 anos)em 2002 por Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour e Robin Thomas. o problema da complexidade algorítmica do reconhecimento de gráficos perfeitos acabou por estar intimamente ligado / fortemente à mecânica da prova da forte conjectura perfeita do gráfico, embora isso não fosse exatamente bem conhecido ou conhecido antes da prova da conjectura. em outras palavras, havia uma conjectura informal informal de que "o reconhecimento perfeito de gráficos está em P" (ou "baixa complexidade" etc.) resolvido relativamente rapidamente, baseando-se nas análises / propriedades / mecânicas do forte teorema dos grafos perfeitos.

Um algoritmo polinomial para reconhecimento de gráficos perfeitos Gérard Cornuéjols, Xinming Liu, Kristina Vušković 2003