Os idiomas regulares estão fechados além disso?

Especificamente o que quero dizer com adição é, definimos para ser o alfabeto . Línguas dadas regulares e sob algum alfabeto , olhada . $\Sigma_i$ $\{0, 1, 2, ..., i\}$ $A$ $B$ $\Sigma_i$ $A\times B$

Para cada par ordenado , definir a "soma" deste par ordenado como , onde e são números na base de i. Os zeros à esquerda são ignorados; portanto, está na frente de cada sequência de caracteres aceita. Isto implica é definido como 0. $(a, b) \in A\times B$ $a+b$ $a$ $b$ $0^*$ $\epsilon$

O idioma é o conjunto de cadeias que representam todas essas somas possíveis. $A+B$

Até agora, eu sei:

Isso é verdade em unário ( ). $\Sigma_1$
Isso vale para qualquer linguagem regular finita e , porque qualquer linguagem finita é regular e é finita. $A$ $B$ $A+B$
A linguagem = s s é um múltiplo de n na base b em é regular para qualquer . Isto significa que qualquer idiomas de forma a , também podem ser adicionados, como , o qual também é regular. No entanto, existem idiomas como = s s começa e termina com 1} que não se encaixa nesse critério, portanto não descreve todos os idiomas comuns. $C_n$ $\{$ $|$ $\}$ $\Sigma_b$ $b >= 1$ $C_n$ $C_i+C_j=C_{i + j}$ $D$ $\{$ $|$

automata-theory

— Phylliida
fonte

Não é verdade que, se A é regular na base 2, também é regular na base 3, considerar, por exemplo, as potências de 2.

— domotorp

Entendo, você está certo. Eu editei a pergunta de acordo. Eu estava tentando provar isso, e parecia verdade, e então eu entendi mal o que era um homomorfismo e presumi que era verdade. Mas não é, desculpe por isso. Se um idioma é regular na base b ^ a para alguns a> 1, também é regular em qualquer outra base b ^ (ac) para qualquer 1 <= c <a no entanto. (por exemplo, se um idioma é regular na base 8, também é regular na base 4 e 2, simplesmente simulando o dfa da base 8).

— Phylliida #

"Isso implica que defined é definido como 0". Eu não entendo o que isso significa. Se 0 e ϵ forem iguais, todos os 0 podem ser removidos e a interpretação do número não funcionará mais.

— babou

A questão é simplesmente que, se uma string vazia ϵ estiver em um par ordenado, ela adicionará 0 à outra string. Também para qualquer sequência fornecida que possua 0s à esquerda, eles podem ser removidos. O que isso significa é que 000101 é o mesmo que 101, por exemplo. Isso é o que eu quis dizer, se a ϵ aparece em uma string por si só , que é equivalente em valor em relação a uma soma como 0, 00 ou 000 por si mesmos . Se essas strings estiverem dentro de outra string, todas as apostas serão desativadas, e essa substituição não será mais válida.

— Phylliida

Respostas:

Sim, eles estão.

$\Sigma_i^3$ $A'$ $A$ $B'$ $B$ $C$ $A'$ $B'$ $A$ $B$ $C$ usa o fato de que você pode fazer acréscimos digitalizando da direita para a esquerda, mantendo apenas um dígito de carry como estado.

$A'\cap B'\cap C$ $A$ $B$

— David Eppstein
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Isso é realmente incrível. Eu não sabia que você poderia usar essas pilhas dessa maneira. Obrigado!

— Phylliida

É certo que isso é um pouco duvidoso porque, neste caso, contém apenas somas de cadeias do mesmo tamanho, no entanto, porque podemos "simular" somas de cadeias de tamanhos diferentes adicionando zeros à esquerda e é simples modificar um dfa em outro dfa que reconhece 0 * na frente de todas as strings que aceitam (uma vez que você constrói o dfa somatório para reconhecer C com homomorfismo).

— Phylliida

Suponho que a maior chave é que A e B precisam ser "tecnicamente modificados" da mesma maneira que sejam 0 * A e 0 * B, e uma vez que fazemos isso, é suficiente, para cada par de aeb encontrar o soma de 0 * a + 0 * b st, ambos os valores têm 0s iniciais suficientes para corresponder aos tamanhos e, em seguida, o resultado pode ser retirado de 0s conforme necessário, pois C é modificado da mesma maneira. Isso estava implícito ou há uma maneira mais simples de ver o que estou perdendo?

— Phylliida

Sim, existem alguns aspectos técnicos que envolvem preenchimento, mas eles realmente não mudam as idéias básicas, então eu as omiti.

— David Eppstein

Legal, isso faz sentido.

— Phylliida

$A$ $B$ $M_A$ $M_B$ $a$ $b$ $M_A$ $M_B$ $M_A$ $M_B$

— domotorp
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