A complexidade de Kolmogorov é uma função adjetiva?

Vamos fixar uma codificação de máquinas de Turing e uma máquina de Turing universal, U, que na entrada (T, x) produz qualquer saída de T na entrada x (possivelmente ambas funcionando para sempre). Defina a complexidade de Kolmogorov de x, K (x), como a duração do programa mais curto, p, de modo que U (p) = x.

Existe um N tal que para todo n> N exista um x com K (x) = n?

Observação. Se definirmos máquinas de Turing universais de uma maneira diferente, a resposta pode ser negativa. Por exemplo, considere um U que na entrada (T, x) simula T em x se o comprimento de (T, x) é divisível por 100 e, caso contrário, não faz nada. Pode-se modificar este exemplo de várias maneiras para obter contra-exemplos para diferentes definições de máquinas de Turing universais.

— domotorp
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Longe do que você está pedindo, mas eu acho que não é difícil provar que a imagem de

tem densidade linear positiva independentemente do

. Isso implica, por exemplo, que

é infinitamente composto.

K

$K$

U

$U$

K (x)

$K(x)$

— Dan Brumleve

Apenas um comentário extenso, sem informações aprofundadas: talvez você possa trapacear na codificação de uma máquina de Turing e criar uma codificação artificial que leve a uma complexidade Kolmogorov excessiva:

representa a máquina de Turing que gera (1 estado TM); $0$ $0$
representa a máquina de Turing que gera (o número representado pela cadeia binária mais um); é simplesmente uma versão implícita "compactada" de uma MT decidível que gera ; $0p$ $p+1$ $p$ $p+1$
representa amáquina de Turing em uma enumeração padrão (a enumeração pode pular as TMs já incluídas com e ). $1p$ $p+1$ $0$ $0p$

A TM universal correspondente na entrada verifica qual é o valor de , se for , emite simplesmente ; caso contrário, simula TM ( quando é a sequência vazia); note que incorpora as entradas. $bx$ $b$ $0$ $x+1$ $M_{x+1}$ $M_0$ $x$ $M_{x+1}$

Para todas as cadeias , ; e para todo existem cadeias de comprimento mas existem apenas programas de comprimento que podem ser representados usando a codificação ; e apenas programas de comprimento que podem ser representados usando o $x$ $1 \leq K(x) \leq |x|+1$ $n \geq 1$ $2^{n}$ $n$ $2^{n-1}-1$ $< n$ $1p$ $2^{n}-1$ $n$ $1p$ codificação; portanto, pelo menos uma string de comprimento não pode ser representada com um programa de comprimento ; mas certamente pode ser representado com o programa de comprimento (não nos preocupamos se houver também um programa do mesmo comprimento que o gera). $x'$ $n$ $1p$ $\leq n$ $0x'$ $n+1$ $1p$ $n+1$

Podemos concluir que, para todos os , existe uma string tal que (então este K em particular é adjetivo). $n > 1$ $x', |x'|=n$ $K(x') = n+1$

— Marzio De Biasi
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