Melhor limite atual de espaço atual para SAT?

Quais são os melhores limites inferiores do espaço atual para o SAT?

Com um limite inferior do espaço, quero dizer aqui o número de células da worktape usadas por uma máquina de Turing que usa um alfabeto binário da worktape. Um termo aditivo constante é inevitável, pois uma TM pode usar estados internos para simular qualquer número fixo de células da worktape. No entanto, estou interessado em controlar a constante multiplicativa que muitas vezes é deixada implícita: a configuração usual permite a compressão constante arbitrária por meio de alfabetos maiores, para que a constante multiplicativa não seja relevante, mas com um alfabeto fixo, deve ser possível levá-la em consideração.

Por exemplo, o SAT requer mais do que $\log\log n + c$ espaço; caso contrário, esse limite superior do espaço levaria a um limite superior no tempo de $n^{1+o(1)}$ por simulação e, assim, o limite inferior combinado do tempo no espaço $n^{1.801+o(1)}$ para SAT seria violado (veja o link questão). Também parece possível melhorar esse argumento argumentando que o SAT requer pelo menos $\delta\log n + c$ espaço para algum pequeno positivo $\delta$ que é algo como $0.801/C$ , em que $C$ é o expoente constante na simulação de uma TM limitada no espaço por uma TM limitada no tempo.

Infelizmente, $C$ é geralmente bastante grande (e certamente pelo menos 2 na simulação usual, onde as fitas de uma TM são codificadas pela primeira vez em uma única fita por meio de um alfabeto maior). Tais limites com $\delta \ll 1$ são bastante fracos, e eu estaria especialmente interessado em um limite inferior do $\log n + c$ . Um limite inferior incondicional no tempo de $\Omega(n^d)$ etapas, para alguma constante suficientemente grande $d > 1$ , implicaria um limite inferior desse espaço por meio de simulação. No entanto, os limites mais baixos de tempo de $\Omega(n^d)$ para $d>1$ não é conhecido atualmente, muito menos grande $d$ .

Em outras palavras, estou procurando por algo que seria uma conseqüência dos limites inferiores do tempo superlinear para o SAT, mas que seria possível obter mais diretamente.

— András Salamon
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como nessa outra resposta (por exemplo, por RW), focar limites inferiores no tempo ou no espaço separadamente parece estar fora de alcance e ter apenas limites conhecidos fracos / genéricos, e a pesquisa líder na área parece dar origem a um conceito relativamente mais novo da complexidade combinada de tempo e espaço.

— vzn

Respostas:

Parece que o melhor limite conhecido (para máquinas de Turing multitape) é logarítmico.

Suponha que bits da forma de trabalho binária seja suficiente para decidir se qualquer fórmula CNF de bits é satisfatória, para todos os grandes o suficiente . Pela simulação padrão, uma TM com afirma que usa no máximo bits de espaço pode ser simulada por uma TM que tem no máximo $\delta\log n$ $n$ $n$ $q$ $s$ $qns2^s = 2^{s+\log n + \log s + \log q}$ configurações diferentes. Sempre que a máquina aceita, há uma sequência de movimentos (não determinísticos) atingindo um estado de aceitação que é no máximo enquanto esse número de configurações. Quando , isso é no máximo (observe que permanece o mesmo para todos os comprimentos de entrada ). Em uma fita adesiva separada, $s = \Omega(\log n)$ $2^{s(2+o(1))}$ $q$ $n$ $M$ primeiro, você pode escrever essa quantidade em unário; depois, em cada etapa da simulação, apague um dos símbolos do contador e encerre o cálculo se ele ficar sem símbolos do contador. Isso cria um fator constante de sobrecarga (algo como 3), que é absorvido pelo termo no expoente. Portanto, etapas são suficientes. $o(1)$ $2^{s(2+o(1))}$

Pela suposição , o produto no espaço-tempo é no máximo . $s \le \delta\log n$ $\delta\log n2^{\delta\log n(2+o(1))} = n^{\delta(2+o(1))}$

Rahul Santhanam mostrou em 2001 (ver doi: 10.1016 / S0020-0190 (00) 00227-1 ) que o produto espaço-temporal para uma máquina de Turing que decide SAT deve ser pelo menos ; seu argumento se aplica também a máquinas não determinísticas. Portanto, e pelo menos bits de forma de trabalho binária são necessários. $\Omega(n^{2-o(1)})$ $\delta \ge 1$ $\log n$

De um modo mais geral, as formas de trabalho adicionais e um alfabeto maior da forma de trabalho alteram o expoente por um fator constante. Em última análise, isso reduz o fator , mas o limite inferior do espaço ainda é . $\delta$ $\Omega(\log n)$

— András Salamon
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Talvez possamos provar um espaço limite inferior para o SAT desta forma (mas não estou confiante com limite / análise assintótica, então minha resposta pode ser totalmente errado). $\log n$

Em um modelo de máquina de Turing com uma fita de entrada somente leitura e uma fita de trabalho, ambas sobre o alfabeto binário , para cada decisor com estados em uma entrada de tamanho , temos o seguinte: $\Sigma = \{0,1\}$ $c$ $n$

T (n) \leq c 2^{S (n)} n S (n) (1)

$T(n) \leq c \, 2^{S(n)} \, n \, S(n) \quad (1)$

caso contrário, a máquina de Turing fará um loop para sempre (o componente representa todas as configurações de fita possíveis, o componente representa as posições da cabeça da fita de entrada, enquanto o componente representa as posições da cabeça da fita de trabalho). Em uma fita simples, uma cabeça TM sobre o alfabeto binário (1) torna-se . $2^{S(n)}$ $n$ $S(n)$ $T(n) \leq c 2^{S(n)} S(n)$

Multiplicando ambos os termos por e aplicando a compensação geral de espaço-tempo para SAT, obtemos: $S(n)$

n^{1.801 + o (1)} \leq S (n) \cdot T (n) \leq c S (n)^{2} 2^{S (n)} n

$n^{1.801+o(1)} \leq S(n)\cdot T(n) \leq c \, S(n)^2 \, 2^{S(n)} \, n$

Portanto, escolher um limite superior do espaço como para SAT levaria a uma contradição, de fato $S(n) \leq (\log n)^{1 - \epsilon}$

lim_{n \to \infty} \frac{n^{1.801}}{c ((\log n)^{1 - ϵ})^{2} 2^{(\log n)^{1 - ϵ}} n} =

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{1.801}}{ c \, ((\log n)^{1-\epsilon})^2 2^{(\log n)^{1-\epsilon}} n } =$

lim_{n \to \infty} (0.801 \cdot \log n - \log c - 2 (1 - ϵ) \log (\log n) - (\log n)^{1 - ϵ}) = \infty

$\lim_{n \to \infty} \Big( 0.801 \cdot \log n - \log c - 2 (1- \epsilon) \log (\log n) - (\log n)^{1-\epsilon}\Big) = \infty$

— Marzio De Biasi
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Parece haver pelo menos duas maneiras gerais de mostrar que um limite superior

leva a uma contradição. Principalmente eu tinha em mente usando o (essencialmente idêntico, mas um pouco mais fácil trabalhar com) a desigualdade

por uma constante

. A última etapa que você fornece também pode ser fortalecida, pois segue uma contradição mesmo em

para

o (\log n)

$o(\log n)$

T (n) \leq 2^{\log n + C . S (n)}

$T(n) \le 2^{\log n + C.S(n)}$

C

$C$

S (n) \leq δ \log n

$S(n) \le \delta\log n$

δ < 0.801 / C

$\delta < 0.801/C$

— András Salamon

@ AndrásSalamon: do lado direito de

, você não pode esperar melhorias fáceis: de S. Buss e R. Williams. Limites nas provas de negociação de alternância para limites inferiores no espaço-tempo, 2012: "Mostramos que novas técnicas são comprovadamente necessárias para provar melhores limites inferiores no espaço de tempo para o problema de satisfação. Ou seja, o método de" negociação em alternância provas" utilizados para estabelecer que sab não pode ser resolvido nos

de tempo e

o espaço não pode revelar-se um

S \cdot T

$S\cdot T$

n^{2 \cos (π / 7)}

$n^{2\cos(\pi /7)}$

n^{o (1)}

$n^{o(1)}$

tempo limite inferior, para cada

" Você tem alguma ideia :-).?

n^{2 \cos (π / 7)} + ϵ

$n^{2\cos(\pi /7)}+\epsilon$

ϵ > 0

$\epsilon >0$

— Marzio De Biasi

Eu acho que isso é o mais longe possível usando os limites do espaço-tempo, precisamente porque a abordagem de Ryan é o mais longe possível.

— András Salamon

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

L ⊊ N P

$\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{NP}$