Por que o CICLO HAMILTONIANO é tão diferente de PERMANENTE?

Um polinômio é uma projeção monótona de um polinômio se = poli , e existe uma atribuição $f(x_1,\ldots,x_n)$ $g(y_1,\ldots,y_m)$ $m$ $(n)$ tal que . Ou seja, é possível substituir cada variável de por uma variável ou uma constante ou para que o polinômio resultante coincida com . $\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}$ $f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))$ $y_j$ $g$ $x_i$ $0$ $1$ $f$

Estou interessado nas (razões para) a diferença entre o polinômio permanente PER e o polinômio do ciclo hamiltoniano HAM: onde o primeiro somatório está sobre todas as permutações

{PER}_{n} (x) = \sum_{h} \prod_{i = 1}^{n} x_{i, h (i)} and {HAM}_{n} (x) = \sum_{h} \prod_{i = 1}^{n} x_{i, h (i)}

$\mbox{PER}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}\ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \ \mbox{HAM}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}$

, e o segundo é apenas sobre todasaspermutaçõescíclicas

h : [n] \to [n]

$h:[n]\to[n]$

h : [n] \to [n]

$h:[n]\to[n]$

Pergunta: Por que o HAM não é uma projeção monótona PER? Ou ainda é?

Não estou pedindo provas , apenas por razões intuitivas.

Motivação: o maior limite inferior do circuito monotônico conhecido para PER (comprovado por Razborov) permanece "apenas" . Por outro lado, os resultados de Valiant implicam que onde com o somatório está sobre todos os subconjuntos de tamanho $n^{\Omega(\log n)}$

CLIQUE_{n} is a monotone projection of HAM_{m}

$\mbox{CLIQUE$_n$ is a monotone projection of HAM$_{m}$}$

{CLIQUE}_{n} (x) = \sum_{S} \prod_{i < j \in S} x_{i, j}

$\mbox{CLIQUE}_n(x)=\sum_{S}\prod_{i < j\in S}x_{i,j}$

S \subseteq [n]

$S\subseteq [n]$

. Eu mesmo não consegui obter uma redução "simples e direta" desses resultados gerais, masAlon e Boppanaafirmam (na Seção 5) que já

é suficiente para essa redução.

| S | = \sqrt{n}

$|S|=\sqrt{n}$

m = 25 n^{2}

$m=25n^2$

Mas espere: é sabido que o CLIQUE requer circuitos monótonos do tamanho (primeiro comprovado por Alon e Boppana usando o método de Razborov). $2^{n^{\Omega(1)}}$

Assim, foram HAM uma projecção monótona de PER, teríamos um limite inferior, também para PER. $2^{n^{\Omega(1)}}$

Na verdade, por que o HAM nem sequer é uma projeção não monótona de PER? Durante o semianel booleano, o primeiro é NP -completo, enquanto o último é em P . Mas por que? Onde é um lugar onde ser cíclico para uma permutação a torna tão especial?

PS Uma diferença óbvia poderia ser: o HAM cobre [n] por apenas um (longo) ciclo, enquanto o PER pode usar pode interromper ciclos para isso. Assim, para projetar PER para HAM, a direção mais difícil parece ser: garantir que a ausência de um ciclo hamiltoniano implique a ausência de qualquer cobertura com ciclos disjuntos no novo gráfico. É por isso que o HAM não é uma projeção de PER?

$f(x)=\sum_{u\subseteq [n]}c_u\prod_{i\in u}x_i$ $c_u\in\{0,1\}$ $c_u$ $_m$ $m$ $(n)$ $\neq 2$

— Stasys
fonte

Eu tenho uma pergunta um pouco fora do tópico. Posso perguntar por que PERMANENT está em P durante o semiring booleano? Não conheço esse algoritmo.

— caozhu

@caozhu: Isso ocorre simplesmente porque PERMANENTE é o mesmo que DETERMINANTE durante a semicondução booleana. O algoritmo é, então, qualquer algoritmo DETERMINANTE.

— Bruno

{\lor, \land, \neg}

$\{\lor,\land,\neg\}$

n^{5 / 2}

$n^{5/2}$

A seguir, uma prova sobre qualquer anel de característica zero de que o polinômio do ciclo hamiltoniano não é uma projeção monotônica de tamanho polinomial da permanente. A idéia básica é que projeções monótonas de polinômios com coeficientes não negativos levam o polítopo de Newton de um a ser uma formulação estendida do polítopo de Newton do outro e, em seguida, aplicando os limites inferiores recentes em formulações estendidas.

$f(x_1,\dotsc,x_n)$ $g(y_1,\dotsc,y_m)$ $f$ $g$ $\pi$ $\pi$ $g$ $f$

$New(f)$ $f$ $New(g)$

$New(f)$ $\mathbb{R}^m$ $\leq n+m$ $n+m$ $New(g)$

$e_1,\dotsc,e_m$ $\mathbb{R}^m$ $New(g)$ $\mathbb{R}^m$ $(e_1,\dotsc,e_m)$ $y_1^{e_1} \dotsb y_m^{e_m}$ $i$ $\pi(y_i)=0$ $New(g)$ $\{e_i = 0\}$ $y_i$ $m$ $P$ $\pi$ $L_{\pi}\colon \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$ $L_{\pi}(P) = New(f)$ $New(f)$ $n+m$ $P$ $m$ $L_{\pi}$ $n$ $x_i$

$f$ $n$ $g$ $m$ $f$ $g$ $e_{ij}$ $m$

$2^{n^{\Omega(1)}}$ $m$ $L_{\pi}$

$f$ $g$ $\pi$ $L_{\pi}$ $New(f)$

$\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

— Joshua Grochow
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um argumento muito bom. Isto é exatamente o que eu procurei! De fato, formulações LP prolongadas simulam as projeções de Valiant (pelo menos monótonas).

— Stasys