Complexidade linear de monômios

Seja $k$ algum campo. Como sempre, para um $f\in k[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ , definimos $L(f)$ como a complexidade linear de $f$ sobre $k$ . Seja $F$ o conjunto de monômios de $f$ , ou seja, os monômios que aparecem em $f$ com coeficiente diferente de zero.

É verdade que $\forall m\in F:L(m)\le L(f)$ ?

Mesmo algum limite superior mais fraco para $L(m)$ é conhecido?

cc.complexity-theory algebraic-complexity arithmetic-circuits

— Gorav Jindal
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Respostas:

Se , então ele tem monomios e . Por um argumento de contagem, existem programas lineares de comprimento . Como tem mais monômios, para alguns precisamos de um programa mais longo. De fato, este argumento fornece um monômio para o qual .

f = (Σ_{i = 1}^{n} x_{i})^{2^{n}}

$f=(\Sigma_{i=1}^n x_i)^{2^n}$

(\binom{2^{n} + n - 1}{n - 1}) \approx 2^{n^{2}}

${2^n+n-1\choose n-1} \approx 2^{n^2}$

L (f) = O (n)

$L(f)=O(n)$

2^{O (n \log n)}

$2^{O(n\log n)}$

O (n)

$O(n)$

f

$f$

m

$m$

L (m) = \tilde{Ω} (L^{2} (f))

$L(m)=\widetilde\Omega(L^2(f))$

— domotorp
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Como um pequeno exemplo construtivo baseado na resposta de domotorp, pode-se tomar com enquanto .

f = (x + y)^{8}

$f=(x+y)^8$

L (f) = 4

$L(f)=4$

L (x^{7} y) = L (x^{7}) + 1 = 5

$L(x^7y)=L(x^7)+1=5$

— Bruno

@domotorp, obrigado pela resposta agradável. Este também parece ser o limite superior? Ou pode haver limites inferiores melhores?

— Gorav Jindal

Não sei, mas como esse exemplo era tão simples, acho que a diferença pode ser maior, possivelmente até exponencial.

— Domotorp #

Eu tenho uma "prova" de que existe um limite superior linear ... Onde estou errado (desde que você provou um limite inferior quadrático)? É como segue: Com uma SLP de tamanho , você calcula um polinômio do total grau . Agora tem um SLP de tamanho no máximo com exponenciação binária. Um degree- -variate monomial foi, em seguida, um SLP de tamanho no máximo (muito áspero ligado): calcular todos os , , e, em seguida, o seu produto. Assim, se considerarmos um polinômio , seu grau total é no máximo , e cada monômio tem uma SLP de tamanho no máximo

L

$L$

\leq 2^{L}

$\le 2^L$

x^{D}

$x^D$

2 \log D

$2\log D$

D

$D$

n

$n$

2 n \log D + n - 1

$2n\log D+n-1$

x_{i}^{D_{i}}

$x_i^{D_i}$

D_{i} \leq D

$D_i\le D$

f

$f$

2^{L (f)}

$2^{L(f)}$

2 n L (f) + n - 1

$2nL(f)+n-1$ .

— de Bruno

@Bruno: prova agradável e não há nada de errado com ele, mas não é linear, como você multiplicar e . Mas como sabemos que pode depender de no máximo variáveis , podemos assumir , o que implica o limite quadrático necessário. Assim, .

n

$n$

L (f)

$L(f)$

f

$f$

L (f) + 1

$L(f)+1$

n \leq L (f) + 1

$n\le L(f)+1$

L (m) = O (L^{2} (f))

$L(m)=O(L^2(f))$

— Domotorp #

Nota: Esta é uma expansão de um comentário anterior, uma vez que o OP solicitou explicitamente limites superiores mais fracos.

O grau total de polinômio é delimitado por pois cada operação pode no máximo dobrar o grau do polinômio. Assim, para cada , . $f$ $2^{L(f)}$ $m\in M$ $\deg(m)\le 2^{L(f)}$

Agora, para algumas variáveis grau , existe um SLP que computa por exponenciação binária se o tamanho for no máximo . Para um monômio , pode-se calcular separadamente cada e depois levar o produto. Assim, onde é o grau total de (que é obviamente um limite superior em cada ). $x$ $d$ $x^d$ $2\log(d)$ $m=x_1^{d_1}\dotsb x_n^{d_n}$ $x_i^{d_i}$ $L(m)\le 2n\log(d) + (n-1)$ $d$ $m$ $d_i$

Juntos, obtém-se para : $m\in M$

L (m) \leq 2 n \log (\deg (m)) + (n - 1) \leq 2 n L (f) + (n - 1) .

$L(m)\le 2n\log(\deg(m))+(n-1)\le 2nL(f)+(n-1).$

Como , pode-se concluir $n\le L(f)+1$

\forall m \in M, L (m) \leq 2 L (f)^{2} + 3 L (f) .

$\forall m\in M, L(m) \le 2L(f)^2+3L(f).$

Observações O limite conforme indicado é muito difícil. Em particular, o limite superior de dado no segundo parágrafo não é rígido. No entanto, a resposta de domotorp mostra que não se pode esperar uma ligação muito melhor, e mais precisamente que a dependência quadrática de não pode ser removida. Para reforçar a construção, pode-se usar as construções mais conhecidas em cadeias de adição . Observe que os limites precisos ainda não são conhecidos para esse problema. $L(m)$ $L(f)$

— Bruno
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