Propriedades expressáveis em 2-CNF ou 2-SAT

Como alguém mostra que uma determinada propriedade não pode ser expressa em 2-CNF (2-SAT)? Existem jogos, como jogos de seixos? Parece que o clássico jogo de pedras negras e preto e branco é inadequado para isso (eles são completos para o PSPACE, de acordo com Hertel e Pitassi, SIAM J of Computing, 2010).

Ou alguma outra técnica além dos jogos?

Edit : Eu estava pensando em propriedades que envolvem a contagem (ou cardinalidade) de um predicado desconhecido ( predicado SO , como diriam os teóricos do modelo finito). Por exemplo, como em Clique ou Correspondência não ponderada. (a) Clique : Existe um clique no gráfico fornecido modo que algum número dado ? (b) Correspondência : Existe um correspondente em tal que ? $C$ $G$ $|C| \ge$ $K$ $~$ $M$ $G$ $|M| \ge K$

O 2-SAT pode contar? Possui um mecanismo de contagem? Parece duvidoso.

sat lower-bounds combinatorial-game-theory

— Sameer Gupta
fonte

Entendo que existem os jogos Ehrenfeucht – Fraïssé (para FO) e Ajtai-Fagin (para SO monádico) na teoria dos modelos finitos. Mas não tenho certeza se eles são suficientes aqui. Também os jogos na FMT ficam complicados com estruturas ordenadas, certo?

— Sameer Gupta 28/11

@Marzio, parece uma prova de que nem todas as funções booleanas são expressáveis no 2CNF, como você afirma que responderia à pergunta (não tenho certeza disso, não a vejo como óbvia). o que é essa prova? é publicado em algum lugar?

— vzn

@vzn: uma função booleana trivial que não é expressável em 2-CNF é:

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

— Marzio De Biasi

@SameerGupta: após a reformulação, perhpas a pergunta se torna difícil :-); de fato

, onde

está limitado a cláusulas com duas variáveis (SO-Krom) captura nl sobre estruturas ordenadas, enquanto captura SO existencial NP. Obviamente, limitado a FO 2-SAT não pode contar (e as técnicas de compactação ou jogo de Ehrenfeucht-Fraïssé são suficientes, porque você pode usá-las para provar que PARITY não é definível por FO).

\exists P_{1} . . . \exists P_{n} \forall \bar{z} φ (P_{1}, . . ., P_{n}, \bar{z})

$\exists P_1...\exists P_n \forall \bar{z} \varphi( P_1,...,P_n, \bar{z})$

φ

$\varphi$

— Marzio De Biasi

Está bem. parece haver alguma teoria geral de que

SAT não pode expressar todas as funções booleanas para a constante

. o que é essa teoria? esta pergunta pergunta sobre o caso especial

. note que existe um conceito de "redução" de

-SAT para 3-SAT através da transformação Tseitin . também viram um conceito semelhante aparecer nas provas de limites inferiores do circuito monótono (Razborov).

k

$k$

k

$k$

k = 2

$k=2$

n

$n$

— vzn

Respostas:

Uma família de vetores de bits é a classe de soluções para um problema 2-SAT se, e somente se, tiver a propriedade mediana: se você aplicar a função de maioria bit a bit a quaisquer três soluções, obterá outra solução. Veja, por exemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/Median_graph#2-satisfiability e suas referências. Portanto, se você puder encontrar três soluções para as quais isso não é verdade, sabe que não pode ser expresso em 2-CNF.

— David Eppstein
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David, obrigado, vai procurar isso. @vzn - A resposta de David está relacionada ao que você comentou 2 dias atrás no site de bate-papo, que as fórmulas 3SAT existem para todos os conjuntos de vetores de bits e estão procurando um resultado para as fórmulas 2SAT relativas aos conjuntos de vetores de bits?

— Sameer Gupta 29/11

David, Yuval - Certamente suas provas funcionarão se alguém usar o mesmo conjunto de variáveis. Mas e se o conjunto de variáveis usadas puder ser completamente diferente? Dê uma olhada na resposta de Martin Seymour aqui: cstheory.stackexchange.com/questions/200/… - Para mostrar que não há redução equi-satisfatória (preferencialmente espaço de log) de K-Clique ou K-Matching para 2SAT exigiria uma prova diferente . Pensamentos?

— Sameer Gupta

Adicionar variáveis auxiliares e depois projetá-las não ajudará, porque se a propriedade mediana for verdadeira para o sistema aumentado de variáveis, ela ainda será verdadeira na projeção.

— precisa

Outra maneira de dizer é que a mediana (ou maioria) é um polimorfismo para as restrições 2SAT. Na verdade, sabe-se que qualquer CSP (ainda não booleano) que tem maioria como um polimorfismo está em

(Dalmau-Krokhin '08).

N L \subseteq P

$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$

— Arnab

Seja uma propriedade em variáveis. Suponha-se que não existe uma fórmula 2CNF tal que $P(x_1,\ldots,x_n)$ $n$ $\varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)$ Afirmamos que é equivalente a uma fórmula 2CNF envolvendo apenas . Para provar isso, basta mostrar como eliminar . Escreva

P (x_{1}, \dots, x_{n}) \Leftrightarrow \exists y_{1} \dots \exists y_{m} φ (x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{m}) .

$P(x_1,\ldots,x_n) \Leftrightarrow \exists y_1 \cdots \exists y_m \varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m).$

φ

$\varphi$

ψ

$\psi$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{m}

$y_m$

onde

são literais e

não envolve

. A fórmula

é equivalente a

φ = χ \land ⋀_{k = 1}^{s} (y_{m} \lor U_{k}) \land ⋀_{ℓ = 1}^{t} (\bar{y_{m}} \lor V_{ℓ}),

$\varphi = \chi \land \bigwedge_{k=1}^s (y_m \lor U_k) \land \bigwedge_{\ell=1}^t (\overline{y_m} \lor V_\ell),$

U_{k}, V_{ℓ}

$U_k,V_\ell$

χ

$\chi$

y_{m}

$y_m$

φ

$\varphi$

Isto prova a reivindicação quando

não é apresentado na cláusula de uma unidade; se isso acontecer, podemos eliminá-lo diretamente.

χ \land (\bar{y_{m}} \Rightarrow ⋀_{k = 1}^{s} U_{k}) \land (y_{m} \Rightarrow ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land (⋀_{k = 1}^{s} U_{k} \lor ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land ⋀_{k = 1}^{s} ⋀_{ℓ = 1}^{t} (U_{k} \lor V_{ℓ})

$\chi \land (\overline{y_m} \Rightarrow \bigwedge_{k=1}^s U_k) \land (y_m \Rightarrow \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land (\bigwedge_{k=1}^s U_k \lor \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land \bigwedge_{k=1}^s \bigwedge_{\ell=1}^t (U_k \lor V_\ell)$

y_{m}

$y_m$

$P(x_1,\ldots,x_n)$ $\psi(x_1,\ldots,x_n)$ $P$ $P$ $K$ $K$ $n$

— Yuval Filmus
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y_{i}

$y_i$

ψ

$\psi$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

\dots

$\cdots$

x_{n}

$x_n$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

ϕ_{2}

$\phi_2$

y_{i}

$y_i$

y_{i}

$y_i$

$L$ $-$ $L$

(Sim, eu sei que funções de computação de adição, multiplicação e contagem, mas é fácil convertê-las em versões de decisão de seus respectivos problemas.)

$L \subseteq NL$ $NL$ $AC^0$ $AC^0$

(c) Portanto, para contar , mesmo que você não consiga obter uma expressão equivalente no 2-CNF, usando o método descrito em (b), é possível obter uma expressão 2-CNF equisatisfatória .

Então sim, o 2-SAT pode contar.

$NL$ $|M|$ $NL$

— Martin Seymour
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Re (c), se você acredita na minha resposta, uma expressão 2-CNF equisatisfazível pode ser convertida em uma expressão 2-CNF equivalente de boa-fé.

— Yuval Filmus

-

$-$

$~$

Você pode ler minha resposta e ver por si mesmo. Observe que não há limites de tempo / espaço neste caso.

— Yuval Filmus

L

$L$

{A C}^{0}

$\mathrm{AC}^0$

f

$f$

x \in L

$x\in L$

f (x)

$f(x)$

ϕ

$\phi$

x_{i}

$x_i$

ϕ

$\phi$

-

$-$

x_{i}

$x_i$

$~$

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