Para que c é divisão por c em AC0?

Suponha que nossa entrada seja um binário e tenhamos que produzir , onde é um número inteiro constante. Isso é apenas uma mudança se é uma potência de dois, mas e os outros números? Podemos fazer isso com um circuito de profundidade constante para cada ? E quanto a ? $x$ $\lfloor x/c \rfloor$ $c$ $c$ $c$ $c=3$

$x\bmod c$

cc.complexity-theory circuit-complexity ac0

— domotorp
fonte

A adição e subtração de números binários estão em $\mathsf{AC^0}$ .

Para qualquer número constante , é redutível à divisão por ( ): $c$ $x \bmod c$ $\mathsf{AC^0}$ $c$ $\lfloor x/c \rfloor$

x mod c = x - (\overset{c times}{\overset{⏞}{⌊ x / c ⌋ + \dots + ⌊ x / c ⌋}})

$x \bmod c = x - (\overbrace{\lfloor x/c \rfloor + \cdots + \lfloor x/c \rfloor}^{c \text{ times}})$

Sabe-se que é difícil para para qualquer que não seja uma potência de . Portanto, é difícil para para qualquer que não seja uma potência de . $x \bmod c$ $\mathsf{AC^0}$ $c$ $2$ $\lfloor x/c \rfloor$ $\mathsf{AC^0}$ $c$ $2$

Como observado por Emil nos comentários, há uma redução fácil para o número primo ímpar de (ou seja, com ) para com entrada binária: usamos apenas bits de entrada que são múltiplos de e usamos FLT ( ). $c$ $\mathit{MOD}_c$ $\sum_ix_i\bmod c$ $x_i\in\{0,1\}$ $x\bmod c$ $p-1$ $2^{(p-1)i} \bmod p = 1$

— daniello
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O mesmo argumento se aplica a qualquer que não seja um poder de 2. #

c

$c$

— 960 Emil Jeřábek 3.0

Que não é AC ^ 0 para outro é fácil de mostrar: por exemplo, podemos assumir que é um primo ímpar e, em seguida, você pode reduzir MOD_p a ele usando cada bit . Ou você pode aplicar a classificação de Barrington-Thérien: é uma linguagem comum e seu monóide sintático é um grupo não trivial.

x mod c

$x\bmod c$

c

$c$

c = p

$c=p$

(p - 1)

$(p-1)$

— Emil Jeřábek 3.0

@Emil Jerabek: Obrigado, isso era exatamente a ajuda que precisava :)

— Daniello