Existe um conjunto de portas unitárias finitas que pode realizar exatamente todos os QFTs da ordem ?

Estou pensando em idéias sobre algoritmos quânticos exatos. Em particular, estou considerando as prováveis limitações de , que consiste em linguagens exatamente decidíveis por famílias de circuitos quânticos uniformes em tempos polimórficos sobre um conjunto de portas finitas arbitrárias. $\mathsf{EQP}$

A transformada quântica de Fourier (QFT), dada por é uma parte célebre da teoria computacional quântica. No caso de , existe uma decomposição bem conhecida de em Hadamards, portas SWAP,

F_{N} = \frac{1}{\sqrt{N}} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} & \dots & ω^{N - 1} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} & \dots & ω^{N - 2} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} & \dots & ω^{N - 3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & ω^{N - 1} & ω^{N - 2} & ω^{N - 3} & \dots & ω^{(N - 1)^{2}} \end{matrix}] for ω = e^{2 π i / N},

$F_N = {\frac{1}{\sqrt N} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \omega^3 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \omega^6 & \cdots & \omega^{N-2} \\ 1 & \omega^3 & \omega^6 & \omega^9 & \cdots & \omega^{N-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{N-2} & \omega^{N-3} & \cdots & \omega^{(N-1)^2} \end{bmatrix}} \quad\text{for $\omega = \mathrm e^{2\pi i/N}$},$

N = 2^{n}

$N = 2^n$

F_{N}

$F_N$

{C Z}_{2^{T}} = d i a g (1, 1, 1, e^{2 π i / 2^{T}})

$\mathrm{CZ}_{2^T} = \mathrm{diag}(1,1,1,\mathrm e^{2\pi i/2^T\!})$

T ⩾ 1

$T \geqslant 1$ , devido ao Coppersmith. Se

E Q P ∖ P

$\mathsf{EQP} \smallsetminus \mathsf{P}$ tiver algum problema, pode-se esperar que um deles faça uso dos QFTs

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$ , caso em que seria necessário a família de operações

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$ para se decompor em algum conjunto de portas finitas específico. Usando a decomposição recursiva do QFT, isso equivale a uma decomposição de todos os portões

{C Z}_{2^{n}}

$\mathrm{CZ}_{2^n}$ em um único conjunto de portas finitas.

Obviamente, pelo teorema de Solovay-Kitaev, podemos aproximar os portões $F_{2^n}$ ou $\mathrm{CZ}_{2^n}$ arbitrariamente bem com qualquer conjunto de portas aproximadamente universal que seja fechado sob inversão. O que eu gostaria de saber é se existe um conjunto de portas finito que pode realizar exatamente essas famílias de operadores - ou, o que eu suspeito é mais provável, se existe uma prova de que não existe esse conjunto de portas finito.

Questão. Existe uma decomposição de $\{ F_{2^n} \}_{n \geqslant 1}$ como uma família de circuitos policitem uniforme em um conjunto de portas finito ou uma prova de que isso é impossível?

quantum-computing circuit-families

— Niel de Beaudrap
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Não, não há decomposição de toda a família em um único conjunto de portas finito. Aqui está o porquê. $\{F_{2^n}\}_{n\geqslant1}$

Os QFTs envolvem apenas coeficientes acima de , o complexo fechamento algébrico dos números racionais. Em analogia a [ Adleman + Demarrais + Huang – 1997 ], se envolvermos portas que incluam números transcendentais, poderíamos escolher um conjunto mínimo de transcendentais e descrever os coeficientes de porta essencialmente como funções racionais . Para obter o QFT como um produto desses portões, precisamos providenciar o cancelamento de todos os componentes transcendentais (algo semelhante deve ocorrer para garantir que cada um deles seja unitário); mas então podemos substituir todos os transcendentais por $\overline{\mathbb Q}$ $\{\tau_1, \tau_2, \ldots\}$ $\overline{\mathbb Q}(\tau_1, \tau_2, \ldots)$ $0$ , para que todos os coeficientes sejam algébricos. Portanto, nos restringimos a conjuntos de portas algébricas sem perda de generalidade.

Os coeficientes de uma porta finita configurada sobre podem estar todos contidos em uma extensão em grau finito de , que pode ser construído estendendo por esses coeficientes. Entretanto, os portões obviamente têm coeficientes pertencentes a extensões de campo acima de do grau , isto é, de grau ilimitado. Assim, a família de QFTs da ordem não se decompõe em nenhum conjunto finito de portas. $\overline{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $\mathrm{CZ}_{2^n}$ $\mathbb Q$ $2^{n-1}$ $2^n$

Como corolário, não podemos esperar ter nenhum algoritmo em que dependa de QFTs em anéis cíclicos de tamanho ilimitado - observe que o mesmo problema ocorre em qualquer família de circuitos que possam usar QFTs de ordem arbitrária. $\mathsf{EQP}$

— Niel de Beaudrap
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