Limite inferior na estimativa

Eu gostaria de saber (relacionado a essa outra pergunta ) se os limites inferiores eram conhecidos para o seguinte problema de teste: um deles recebe acesso de consulta a uma sequência de números não negativos e , com a promessa de que ou . $a_n \geq \dots\geq a_1$ $\varepsilon \in (0,1)$ $\sum_{k=1}^n a_k = 1$ $\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon$

Quantas consultas (pesquisas) são suficientes e necessárias para que um algoritmo aleatório (adaptativo) faça a distinção entre os dois casos, com probabilidade de pelo menos ? $2/3$

Eu encontrei um post anterior que fornece um limite logarítmico (em ) para o problema relacionado de aproximar a soma, e um limite inferior que corresponde aproximadamente a esse problema para algoritmos determinísticos; mas não foi possível encontrar um resultado para o problema específico que estou considerando (em particular, algoritmos aleatórios). $n$

Edit: Seguindo a resposta abaixo, acho que deveria ter sido mais claro: acima (e particularmente nos assintóticos para o limite inferior), é a quantidade "principal" vista como indo para o infinito, enquanto é um (arbitrariamente pequeno) constante. $n$ $\varepsilon$

reference-request randomized-algorithms property-testing

— Clemente C.
fonte

Eu acho que você quer dizer .

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} \leq 1 - ε

$\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon$

— RB

De fato - consertou.

— Clement C.

Bem, sem a ordem em que uma dependência de seria necessária, eu acho (com ou sem amostragem). Uma instância "ruim" (par de seqüências) seria, por exemplo, uma sequência com todos os iguais a , exceto por uma (arbitrária, aleatória) modo que é igual a (na primeira sequência) e (na segunda). Sem consultas , as duas seqüências não podem ser diferenciadas ...

n

$n$

a_{k}

$a_k$

\frac{1 - ε}{n - 1}

$\frac{1-\varepsilon}{n-1}$

j

$j$

a_{j}

$a_j$

ε

$\varepsilon$

0

$0$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Clement C.

Presumo que o modelo de consulta permita escolher o para o qual você consulta , está certo?

k

$k$

a_{k}

$a_k$

— Kodlu

Sim (você escolhe o ponto que deseja "divulgar").

— Clement C.

Respostas:

Aqui estão os limites inferiores que posso mostrar. Eu conjectura de que para um fixo , o direito limite inferior é , mas, naturalmente, eu poderia estar errado. $\epsilon$ $\Omega( \log n)$

Vou usar uma sequência decrescente (apenas por conveniência). O mecanismo básico está dividindo a sequência em blocos No th bloco não vão ser elementos (ou seja, ). $L$ $i$ $n_i$ $\sum_i n_i = n$

A seguir, queremos que o algoritmo seja bem-sucedido com probabilidade , para alguns parâmetros . $\geq 1-\delta$ $\delta >0$

Primeiro limite inferior: . $\displaystyle \Omega\left( \frac{1}{\epsilon} \log \frac{1}{\delta} \right)$

O th bloco tem os elementos, de modo que . Definimos o valor de todos os elementos no ésimo bloco para , onde é uma variável que é ou . Claramente, a soma total desta sequência é $i$ $n_i = 2^{i-1}$ $L = \lg n$ $i$ $(1+X_i)/(2n_iL)$ $X_i$ $0$ $1$ Imagine escolher cadacom probabilidadedeecaso contrário. Para estimar, precisamos de uma estimativa confiável de. Particularmente, queremos ser capazes de distinguir a basee, digamos,.

α = \sum_{i = 1}^{L} \frac{1 + X_{i}}{2 n_{i} L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 L} (\sum_{i = 1}^{L} X_{i}) .

$\alpha = \sum_{i=1}^L \frac{1+X_i}{2n_i L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2L}\left(\sum_{i=1}^L X_i \right).$

X_{i}

$X_i$

β

$\beta$

1

$1$

0

$0$

α

$\alpha$

β

$\beta$

β = 1 - 4 ϵ

$\beta = 1-4\epsilon$

β = 1

$\beta=1$

Agora, imagine amostrar dessas variáveis aleatórias e deixar serem as variáveis amostradas. Definições (nota, que estão a tomar a soma das complemento variáveis), temos , e Chernoff desigualdade nos diz que se $m$ $Z_1, \ldots, Z_m$ $Y = \sum_{i=1}^m (1-X_i)$ $\mu = E[Y] = (1-\beta) m$ , então , e a probabilidade de falha é Para tornar essa quantidade menor que $\beta =1-4\epsilon$ $\mu = 4\epsilon m$

P [Y \leq 2 ϵ m] = P [Y \leq (1 - 1 / 2) μ] \leq \exp (- μ (1 / 2)^{2} / 2) = \exp (- ϵ m / 2) .

$P\left[ Y \leq 2\epsilon m \right] = P\left[ Y \leq (1-1/2) \mu \right] \leq \exp \left( -\mu (1/2)^2 / 2 \right) = \exp \left( -\epsilon m / 2 \right).$

, precisamos de

δ

$\delta$

m \geq \frac{2}{ϵ} \ln \frac{1}{δ}

$\displaystyle m \geq \frac{2}{\epsilon} \ln \frac{1}{\delta}$

A principal observação é que a desigualdade de Chernoff é pequena (é preciso ter cuidado, porque não é correto para todos os parâmetros, mas é correto neste caso), para que você não possa fazer melhor que isso (até constantes).

Segundo limite inferior: . $\Omega( \log n / \log \log n)$

$i$ $n_i = L^i$ $L = \Theta( \log n / \log \log n)$ $i$ $\alpha_i = \Bigl(1/L\Bigr)/n_i$ $1$

$j$ $\alpha_{j-1} = L \alpha_j$ $\alpha_j$ $j$ $1/L$ $1$ $2$

$L$

$p=1/2$ $1$ $L/8$ $1/8$ $L/8$

(1 - p) (7 / 8) > 7 / 16 > 1 / 3.

$(1-p)(7/8) > 7/16 > 1/3.$

$\Omega(1/\epsilon^2)$

— Sariel Har-Peled
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Ω (1 / ϵ)

$\Omega(1/\epsilon)$

β < 1

$\beta < 1$

β

$\beta$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

X_{i}

$X_i$

ϵ

$\epsilon$

Sim. Se você rali quer distinguir apenas entre 1 e 1-epsilon então é claro que você não pode melhorar o limite inferior ... Eu estava pensando em tentar distinguir outras gamas ... s

— Sariel Har-Peled

Limite inferior

$\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

$a_1,\dots,a_n$ $\epsilon,2\epsilon,3\epsilon,4\epsilon,\dots$ $n$ $a_1+\dots+a_n = 1$ $n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$

$a'_1,\dots,a'_n$ $\epsilon$ $a'_1=a_1$ $a'_2=a_2$ $a'_i = a_i - \epsilon$ $a'_1 + \dots + a'_n = 1-\epsilon$

$a_1,\dots,a_n$ $a'_1,\dots,a'_n$ $i$ $\Omega(n)$ $n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$ $\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

Limite superior

$O(\lg(n/\epsilon) [\lg n + 1 / \epsilon^2])$

$[0,1]$

[0, 1] = [0, 0.25 ϵ / n] \cup (0.25 ϵ / n, 0.5 ϵ / n] \cup (0.5 ϵ / n, ϵ / n] \cup (ϵ / n, 2 ϵ / n] \cup (2 ϵ / n, 4 ϵ / n] \cup \dots \cup (\dots, 1] .

$[0,1] = [0,0.25\epsilon/n] \cup (0.25\epsilon/n,0.5\epsilon/n] \cup (0.5\epsilon/n,\epsilon/n] \cup (\epsilon/n,2\epsilon/n] \cup (2\epsilon/n,4\epsilon/n] \cup \dots \cup (\ldots,1].$

$a_i$ $a_i$ $a_i$ $[\ell,u]$ $i,j$ $a_i,\dots,a_j \in [\ell,u]$ $O(\lg(n/\epsilon))$

Agora, estimaremos a soma dos valores em cada intervalo. O primeiro intervalo será tratado separadamente de todo o resto:

$[0,0.25\epsilon/n)$ $0$ $m \times 0.25\epsilon/n$ $m$ $m \le n$ $0.25 \epsilon$
$\delta$ $O(1/\delta^2)$ $2 \times$ $\delta = 0.25 \epsilon$

$0.25 \epsilon$ $0.25 \epsilon$ $\le 0.5 \epsilon$ $1$ $1-\epsilon$

— DW
fonte

Obrigado - isso parece interessante (tanto quanto posso dizer, não é a mesma abordagem usada no artigo / discussão acima), e examinarei mais profundamente o que você escreveu. No entanto, estou procurando um limite inferior em vez de um limite superior - ou seja, quantas consultas são necessárias .

— Clement C.

(Com o tempo terminando, estou concedendo a "recompensa" à resposta, no entanto - embora ainda esteja procurando uma referência para um limite inferior, se houver algum em algum lugar lá em cima.)

— Clement C.

@ClementC., Adicionei um limite inferior, de acordo com sua solicitação.

— DW

n

$n$

ε

$\varepsilon$