Problemas em

Quais problemas são conhecidos por pertencerem a mas não por pertencerem a ? $\mathsf{BPP}$ $\mathsf P$

Mais precisamente, estou interessado em problemas independentes , ou seja, cujas derandomizações não são conhecidas como equivalentes. Por exemplo, sabe-se que o PIT derandomizing e a fatoração polinomial multivariada são equivalentes e eu os consideraria apenas um problema.

A motivação da minha pergunta é que é comum dizer que "existem poucos problemas no não se sabe estar em " $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{P}$ , mas não consegui encontrar uma lista deles. Em particular, se eu tiver que citar problemas nesta categoria, geralmente cito a fatoração de polinômios univariados sobre campos finitos ou a fatoração de polinômios multivariados. Suponho que existam exemplos que não estejam relacionados à fatoração polinomial, por exemplo, em outros domínios, como a teoria dos grafos ou a teoria formal da linguagem.

PS: Acho curioso que uma pergunta semelhante ainda não exista neste site. Peço desculpas se eu simplesmente não o encontrei (ou eles)!

derandomization

— Bruno
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As respostas a esta postagem contêm dois exemplos cstheory.stackexchange.com/questions/11425/…

— Mohammad Al-Turkistany

Respostas:

Se você está solicitando problemas independentes, que tal:

Encontre um primo no intervalo , Encontre dois números primos cujo produto esteja no intervalo , Encontre três números primos cujo produto esteja no intervalo , Encontre quatro números primos cujo produto está no intervalo , encontre cinco números primos cujo produto esteja no intervalo , . $[N, 5N/4]$
$[N, 9N/8]$
$[N, 17N/16]$
$[N, 33N/32]$
$[N, 65N/64]$
$\ldots$

É extremamente provável que, se você realmente tivesse um algoritmo polinomial para resolver o primeiro deles, teria um algoritmo polinomial para todos eles. Mas não vejo como reduzir formalmente nenhum deles a nenhum dos outros. Claro que o problema

Encontre um primo no intervalo $[N, N+\log^{17} N ]$

resolve tudo isso.

— Peter Shor
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Para ser preciso, qual é a versão de decisão desses problemas que você tem em mente? Obrigado.

— usul

@usul: Eu não tenho uma versão de decisão desses problemas em mente. Eu preciso? Sei que, tecnicamente, o BPP consiste apenas em problemas de decisão. Na maioria das vezes, os problemas de decisão e os problemas de função são mais ou menos equivalentes, o que significa que você pode considerar apenas problemas de decisão sem perda de generalidade. Não sei se isso é verdade para esta pergunta e não sei se o OP se importa apenas com problemas de decisão ou não.

— Peter Shor

Só estou perguntando, porque não sei exatamente quando surgem sutilezas importantes. Eu acho que deve haver alguns problemas de função que são conhecidos incondicionalmente em "BPP" e não em "P", por exemplo, produzem uma sequência de complexidade de Kolmogorov (?). Por isso, pensei que a pergunta apontaria para problemas de decisão e fiquei imaginando se uma versão de decisão válida da sua resposta (dado o conhecimento atual) seria, por exemplo, "existe um primo em ?"

n

$n$

[N, 5 N / 4]

$[N,5N/4]$

— usul 01/01

@usul: Para a pergunta: "existe um primo em ?", sabe-se que existe um algoritmo de tempo constante. Parece: Diga "sim" quando e verifique explicitamente quando . Você precisa de alguma teoria dos números para provar que funciona.

[N, 5 N / 4]

$[N, 5N/4]$

N > 10^{6}

$N > 10^6$

N \leq 10^{6}

$N \leq 10^6$

— Peter Shor

Ok, claro / ótimo. Acho que concordo com o comentário de Kaveh nesta pergunta de que um problema natural de decisão correspondente é, dado , existe um primo em ?

a, b

$a,b$

[a, b]

$[a,b]$

— usul

Existe um uso particular da aleatoriedade que é bastante comum na complexidade parametrizada, que envolve o lema do isolamento ou o lema de Schwartz-Zippel . Grosso modo, envolve definir uma grande enumeração de soluções em potencial e argumentar que todas as não soluções "emparelham" (por exemplo, são contadas duas vezes) enquanto as soluções desejadas são contadas apenas uma vez. Então, usa-se o lema de isolamento para produzir uma situação com apenas uma solução menor, ou define um grande polinômio formal correspondente sobre GF e usa Schwartz-Zippel para testar se existe algum termo não emparelhado. (Tenho certeza de que há uma boa visão geral ou pesquisa por aí, mas no momento isso me escapa.) $(2^\ell)$

Dito isto, só consigo pensar em dois casos em que esse uso levaria a uma diferença entre BPP e P.

O primeiro é o algoritmo recente para os dois caminhos disjuntos mais curtos ( PDF do autor ), Björklund e Husfeldt, ICALP 2014.

$|K|=O(\log n)$ $|K|$

— Magnus Wahlström
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Não sou especialista, mas talvez alguns exemplos (não tão naturais?) Possam ser derivados diretamente usando a técnica de reduzir deterministicamente os problemas de pesquisa de BPP para problemas de decisão de BPP , apresentados em:

Oded Goldreich, em um mundo de P = BPP. Estudos em Complexidade e Criptografia 2011: 191-232

$(R_{yes},R_{no})$ $R$ $R_{yes} \subseteq R \subseteq (\{0, 1\}^∗ \times \{0, 1\}^∗) \setminus R_{no}$ $R$ $\Pi$ $(R_{yes},R_{no})$ $\Pi$ $(R_{yes},R_{no})$

O teorema pode ser estendido a problemas gerais de construção, por exemplo (veja Corolário 3.9 ), considere o problema de encontrar um primo em um intervalo suficientemente grande:

$c > 7/12$ $N$ $[N, N + N^c]$

O algoritmo aleatório é executado no tempo polinomial esperado; nenhum algoritmo de tempo polinomial determinístico é conhecido; mas se BPP = P, esse algoritmo de tempo polinomial determinístico deve existir (porque pode ser reduzido a um problema de decisão de BPP).

— Marzio De Biasi
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