Formalizando a teoria do tipo de homotopia em Idris

Olhando para o blog da teoria dos tipos de homotopia, é fácil encontrar muitas bibliotecas formalizando a maior parte da teoria dos tipos de homotopia em Agda e Coq.

Alguém sabe se existe alguma tentativa semelhante de formalizar o HoTT em Idris ?

proof-assistants homotopy-type-theory

— Giorgio Mossa
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Não conheço ninguém, e espero que provavelmente teríamos ouvido falar sobre isso se alguém tivesse tentado (ou pelo menos se tivesse conseguido).

— Mike Shulman

@ MikeShulman Os sistemas de tipo Idris e Agda não devem ser essencialmente equivalentes? Nesse caso, deveria ser possível formalizar o HoTT em Idris também, não deveria?

— Giorgio Mossa

Idris é mais fortemente orientado para a programação. Uma coisa que me preocuparia é se ela tem o equivalente da Agda postulateou da Coq Axiom. Se sim, como ele consegue computar com ele (é uma linguagem compilada)? O ponto é que o axioma da univalência precisa ser postulatededitado.

— Andrej Bauer

Eu certamente não quis dizer que não achava que seria possível! Só não conheço ninguém que tenha tentado ainda. Não sei quase nada sobre Idris.

— Mike Shulman

Espero que Idris permita que você prove o axioma K de Streicher (exclusividade de provas de identidade) por meio de correspondência de padrões (como a Agda fez até recentemente), o que seria um problema para o HoTT.

— Neel Krishnaswami

Aqui está uma formalização pequena, incompleta e inconsistente do HoTT em Idris. Isso mostra que você pode derivar uma contradição em Idris apenas postulando univalência. No momento, existem duas barreiras para formalizar o HoTT em Idris.

\prod_{P : X \to T y p e} \prod_{x : X} \prod_{p : x = x} \prod_{uma, b : P x} (t r uma n s p o r t P p uma = b) \to (uma = b)

$\prod_{P \,:\, X \to \mathsf{Type}}\ \prod_{x\,:\,X}\ \prod_{p \,:\, x = x}\ \prod_{a,\,b \,:\, P\, x} (\mathsf{transport}\ P\ p\ a = b) \to (a = b)$ True = False

Barreira 2: O padrão de correspondência em Idris é muito forte para o HoTT, como Neel Krishnaswami suspeitava em um comentário acima. Podemos derivar o K. de Streicher. Isso leva à singularidade das provas de identidade e, portanto, é incompatível com a univalência. Podemos mostrar mais uma vez True = False.

— Francisco Mota
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