Existem resultados contra-intuitivos em ciência da computação teórica?

Provavelmente, alguns paradoxos matemáticos e lógicos poderiam ser automaticamente aplicados aos computadores, mas existem paradoxos descobertos na própria ciência da computação?

Por paradoxos, quero dizer resultados contra-intuitivos que parecem uma contradição.

Acho o fato de que o fluxo da rede é um contador de tempo polinomial intuitivo. Parece muito mais difícil, à primeira vista, do que muitos problemas com o NP-Hard. Ou, de outra forma, existem muitos resultados no CS, em que o tempo de execução para resolvê-los é muito melhor do que você esperaria.

Uma família de resultados contra-intuitivos é a família de resultados "provar um limite superior para provar um limite inferior". O resultado de Meyer que implica é um exemplo disso, e isso me veio à mente do trabalho de Ketan Mulmuley no GCT bem como o resultado recente de Ryan Williams, que novamente usou um limite superior para CIRCUIT-SAT para provar um limite inferior para em termos de .E X P$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{EXP} \not\subseteq \mathsf{P}/poly$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{ACC}$

O SAT possui um algoritmo de tempo polinomial apenas se P = NP. Não sabemos se P = NP. No entanto, posso escrever um algoritmo para SAT que é de tempo polinomial se P = NP for verdadeiro. Não sei a referência correta para isso, mas a página da Wikipédia fornece esse algoritmo e credita Levin.

A computabilidade certamente estraga a maioria dos estudantes. Um belo exemplo com alta taxa de confusão é o seguinte:

$f(n) := \begin{cases}1, \quad \pi \text{ has } 0^n \text{ in its decimals} \\\\ 0, \quad else\end{cases}$

é computável?$f$

A resposta é sim; veja uma discussão aqui . A maioria das pessoas tenta imediatamente construir com o conhecimento atual. Isso não funciona e leva a um paradoxo percebido que é realmente apenas sutileza.$f$

Um resultado surpreendente e contra-intuitivo é que , provou usar aritmetização por volta de 1990.$IP = PSPACE$

Como Arora e Barak colocaram (p. 157) "Sabemos que a interação por si só não nos dá nenhuma linguagem fora da NP. Também suspeitamos que a randomização sozinha não acrescenta poder significativo ao cálculo. Então, quanta energia poderia a combinação de randomização e interação fornecer? "

Aparentemente, um pouco!

Como Philip disse, o teorema de Rice é um bom exemplo: a intuição de alguém antes de estudar computação é que certamente deve haver algo que possamos calcular sobre computação. Acontece que só podemos calcular algo sobre alguns cálculos.

E as publicações de Martin Escardo mostrando que existem conjuntos infinitos que podem ser pesquisados ​​exaustivamente em tempo finito? Veja a postagem do blog de Escardo no blog de Andrej Bauer, por exemplo, sobre "Programas funcionais aparentemente impossíveis" .

O Teorema da Recursão certamente parece contra-intuitivo na primeira vez que você o vê. Essencialmente, diz que quando você está descrevendo uma máquina de Turing, pode assumir que ela tem acesso à sua própria descrição. Em outras palavras, eu posso construir máquinas de Turing como:

A TM M aceita n se n é um múltiplo do número de vezes que "1" aparece na representação de sequência de M.

A TM N recebe um número n e gera n cópias de si mesma.

Observe que a "representação de string" aqui não se refere à descrição informal do texto, mas sim a uma codificação.

Provar resultados teóricos da informação com base em suposições teóricas da complexidade é outro resultado contra-intuitivo. Por exemplo, Bellare et al. em seu artigo A (verdadeira) complexidade do conhecimento estatístico zero provou construtivamente que, sob a premissa de log discreto certificado , qualquer linguagem que admita o conhecimento estatístico zero verificador honesto também admite conhecimento estatístico zero.

O resultado foi tão estranho que surpreendeu os autores. Eles apontaram esse fato várias vezes; por exemplo, na introdução:

Dado que o conhecimento zero estatístico é uma noção computacionalmente independente, é um tanto estranho que as propriedades sobre ele possam ser provadas sob uma premissa de intratabilidade computacional.

PS: Um resultado mais forte foi posteriormente provado incondicionalmente por Okamoto ( Sobre relações entre provas estatísticas de zero conhecimento ).

Descrição de alguns termos

Como o resultado acima inclui muitos jargões criptográficos, tento definir informalmente cada termo.

1. Premissa de log discreto certificado: É difícil (para circuitos de tamanho pequeno) resolver o logaritmo discreto, mesmo que o grupo prime ( ) seja certificado; isto é, a fatoração de é dada.$p$$p-1$
2. Zero conhecimento : um protocolo que não fornece conhecimento para partes limitadas no tempo polinomial.
3. Estatístico zero conhecimento: Protocolo que não fornece informações, mesmo para partes computacionalmente ilimitadas, exceto com probabilidade insignificante.
4. Verificador honesto zero conhecimento: um protocolo que não fornece conhecimento para partes limitadas no tempo polinomial, se elas agirem conforme especificado pelo protocolo.

Que tal o fato de que a computação permanente é # P-Complete, mas é determinante na computação - uma maneira estranha de ocorrer uma operação na classe NC?

Isso parece bastante estranho - não precisava ser assim (ou talvez acontecesse ;-))

O problema de programação linear é solucionável em tempo polinomial (fracamente). Isso parece muito surpreendente: por que seríamos capazes de encontrar um dentre um número exponencial de vértices de um polítopo de alta dimensão? Por que seríamos capazes de resolver um problema tão ridiculamente expressivo?

Sem mencionar todos os programas lineares de tamanho exponencial que podemos resolver usando o método elipsóide e oráculos de separação e outros métodos (adição de variáveis ​​etc.). Por exemplo, é incrível que um LP com um número exponencial de variáveis, como o relaxamento Karmakar-Karp da Bin Packing, possa ser eficientemente aproximado.

Sempre que ensino autômatos, sempre pergunto a meus alunos se eles acham surpreendente que o não determinismo não acrescente nenhum poder aos autômatos de estados finitos (ou seja, que para cada NFA existe um DFA equivalente - possivelmente muito maior). Cerca da metade dos relatórios da turma está sendo surpreendida, e aí está. [Eu mesmo perdi a "sensação" do que é surpreendente no nível de introdução.]

Definitivamente, os alunos acham surpreendente que o . Eu os desafio a produzir um algoritmo que determine se um determinado programa java será interrompido, e eles geralmente tentam procurar infinitos enquanto loops. Assim que eu lhes mostro maneiras de construir laços cuja terminação está longe de ser óbvia, o fator surpresa desaparece.$R\neq RE$

Eu achei o sistema criptográfico simples de chave pública com um mecanismo de descriptografia de alçapão duplo e suas aplicações paradoxais, porque é um esquema seguro de texto cifrado adaptativo escolhido que é homomórfico.