Hierarquia uniforme de problemas que abrangem complexidade e hierarquias computacionais

Alguém conhece um conjunto de problemas que variam uniformemente e abrangem uma das hierarquias "interessantes" de complexidade e computabilidade? Por interessante, quero dizer, por exemplo, a Hierarquia Polinomial, a Hierarquia Aritmética ou a Hierarquia Analítica. Ou talvez (N) P, (N) EXP, 2 (N) EXP, $\ldots$

Mais concretamente: você pode fornecer um conjunto uniforme de problemas que caracterizam a Hierarquia Aritmética: . Mas estes nem sempre são os mais úteis para reduzir a problemas reais. $0, 0', \overline{0'}, 0'', \overline{0''},\ldots$

Por outro lado, o livro de Harel, Kozen e Tiuryn tem um conjunto de problemas variados de ladrilhos que são NP, $\Pi^0_1$ , $\Sigma^0_2$ e $\Sigma^1_1$ completos. Os problemas são úteis para mostrar reduções, mas não está totalmente claro se eles se generalizam uniformemente para cobrir os outros níveis das hierarquias em que se inserem.

Alguém conhece esse conjunto de problemas concretos e uniformes que abrangem uma hierarquia?

EDIT: Apenas para esclarecimento, eu sei que as três hierarquias que dou acima têm definições padrão em termos de força do quantificador alternado. Não é isso que estou procurando. Estou procurando algo diferente, como um jogo em um gráfico ou um quebra-cabeça jogado com ladrilhos.

cc.complexity-theory computability

— Mark Reitblatt
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Existem problemas baseados em gráficos (por exemplo, alcançabilidade) e problemas lógicos (avaliação de um circuito ou fórmula de primeira ordem). ps: você tentou fazer da partida um jogo entre dois jogadores com um número especificado de rodadas ou poder computacional limitado? Aliás, pode ajudar se você esclarecer o que quer dizer com as palavras "uniforme" e "concreto".

— Kaveh

Sim, existem problemas de gráfico ou circuito que possuem variações completas para alguns níveis. Mas você pode encontrar análogos completos para todos os níveis de uma hierarquia? Por uniforme, quero dizer que, para subir na hierarquia, você apenas altera alguns parâmetros de alguma maneira uniforme. Por exemplo, você aumenta o número de X em um, onde X é um parâmetro do problema. Por concreto, apenas informalmente quero dizer acessível. Não considero as hierarquias do problema de parada particularmente acessíveis. Por outro lado, algo como SAT ou QBF é mais concreto.

— Re: Reitblatt #

Continuando os comentários de Kaveh: é provável que essa linguagem seja p-isomórfica ao TQBF, a menos que alguém planeje provar que a conjectura de isomorfismo de Berman-Hartman falha em algum (ou em todos) níveis de PH. Nesse caso, seria um disfarce muito fino, pois seria apenas uma recodificação do TQBF, ou seja, você anotou as fórmulas proposicionais quantificadas usando uma codificação booleana diferente.

— Joshua Grochow

@ Mark: Eu não tenho boa intuição para a conjectura de isomorfismo. O artigo original de BH sugeriu que isso poderia ser verdade; Joseph e Young sugeriram que as funções unidirecionais podem mostrar que é falsa (basicamente: aplique uma função unidirecional ao SAT para obter um conjunto completo de NP que provavelmente não é isomórfico para o SAT), mas Rogers mostrou mundos relativizados percebendo tudo quatro possibilidades re: existência de funções de mão única e conjectura de isomorfismo. Portanto, não sei se há realmente consenso no momento. Aqui está o artigo de Rogers: dx.doi.org.proxy.uchicago.edu/10.1006/jcss.1997.1486

— Joshua Grochow

(O artigo de John Rogers parece demorar cerca de 2 anos após a discussão no blog do CC, mas não sei o histórico exato de quando ele obteve o resultado, em vez de quando foi publicado pela primeira vez.)

— Joshua Grochow

[Partindo da percepção de Kaveh nos comentários.] Parece improvável que alguém possa apresentar uma família de problemas significativamente diferentes da fórmula booleana quantificada, sem refutar o analógico PH da conjectura de isomorfismo Berman-Hartmanis. Sem isso, qualquer problema que surgir seria não apenas equivalente ao , mas de fato isomórfico. Uma maneira de definir o isomorfismo entre duas línguas aqui é usar uma única linguagem abstrata, mas codificar seus objetos (neste caso, fórmulas booleanas quantificadas) usando duas codificações booleanas diferentes. $QBF_k$

Por outro lado, o isomorfismo não é necessariamente um bom juiz do que é útil para as pessoas apresentarem provas. Afinal, na hierarquia aritmética, o Teorema do Isomorfismo de Myhill prova o análogo aritmético da conjectura do isomorfismo de BH (na verdade, isso é história ao contrário, pois BH foi motivado por Myhill). No entanto, como a pergunta aponta, existem várias caracterizações "de aparência diferente" de vários níveis, algumas das quais são mais úteis para provas do que outras.

Embora pareça improvável que alguém tenha uma família de idiomas tão uniforme para todos os níveis de PH, as duas pesquisas ( uma , duas ) de Schaefer e Umans discutem problemas naturais que pelo menos "parecem diferentes" do QBF para os primeiros níveis de PH.

— Joshua Grochow
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Boa conexão com BH. :)

— Kaveh