Avaliando a multilinearização de um circuito aritmético?

Deixe ser um polinómio de multi-variada com coeficientes de mais de um campo . A multilinearização de , denotada por , é o resultado da substituição repetida de cada por por . O resultado é obviamente um polinômio multilinear. $p(x_1,\ldots,x_n)$ $F$ $p$ $\hat{p}$ $x_i^d$ $d > 1$ $x_i$

Considere o seguinte problema: dado um circuito aritmético $C(x_1,\ldots,x_n)$ sobre $F$ e dados os elementos de campo $a_1,\ldots,a_n$ , calcule $\hat{C}(a_1,\ldots,a_n)$ .

Pergunta: Supondo que a aritmética de campo possa ser feita em tempo unitário, existe um algoritmo de tempo polinomial para isso? Adicionado mais tarde: eu também estaria interessado no caso especial em que $C$ é realmente uma fórmula (um circuito de fan-out $1$ ).

cc.complexity-theory polynomials

— Slimton
fonte

Por que seria equivalente a calcular a saída de um circuito fechado? O problema que estou enfrentando é que o circuito pode ter caminhos separados de uma entrada para vários nós de multiplicação internos, e avaliar cada um desses nós de multiplicação internos exigiria a substituição de por em um caminho e por no outro. Em um circuito com um número exponencial de caminhos, parece que há um número exponencial de casos para resolver.

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

a_{i}

$a_i$

1

$1$

— #

@ Kaveh: Eu não entendo. Veja o circuito . Se você apenas substituir o nó de entrada por um nó com o valor de e avaliar de forma padrão você acaba voltando em vez de . Modelo de computação: tempo polinomial apenas normal em máquinas de Turing. Pense no campo como sendo para concretude, se desejar.

(x * x)

$(x * x)$

x

$x$

a

$a$

a^{2}

$a^2$

a

$a$

Z / 3 Z

$Z/3Z$

— slimton

@ Kaveh: Eu não entendo como esse algoritmo implica o que você diz, mas isso de fato contradiz uma hipótese comum na complexidade dos circuitos aritméticos: que o Permanent não possui circuitos aritméticos de tamanho poli (sobre campos diferentes de F_2). Considere o polinômio . A parte multilinear desse polinômio tem a propriedade de que sua parte de maior grau ( ) é apenas . Se houver um pequeno circuito aritmético computando , então pode-se mostrar que existe um pequeno circuito aritmético computando .

p = \prod_{i} (\sum_{j} x_{i j} y_{j})

$p=\prod_i(\sum_j x_{ij} y_j)$

q

$q$

= 2 n

$=2n$

r = y_{1} y_{2} \dots y_{n} P e r (x_{11}, \dots, x_{n n})

$r = y_1y_2\cdots y_n Per(x_{11},\ldots,x_{nn})$

q

$q$

r

$r$

— Srikanth

@Srikanth: Eu não vi seu comentário antes de postar minha resposta (que acabou sendo a mesma construção que você deu em seu comentário). Desde então, excluí minha resposta e você deve postar seu comentário como resposta.

— 13139 Joshua Grochow

@ Josué: Eu não adicionei meu comentário como resposta, pois não entendo por que a construção da Kaveh funciona. Vejo que o circuito aritmético calcula um polinômio que concorda com a multilinearização em todas as entradas, mas não tenho certeza se calcula formalmente a multilinearização do polinômio fornecido (veja meus comentários após a resposta de Kaveh). Minha construção (e a sua) pressupõe que a multilinearização seja computada formalmente.

— Srikanth

Respostas:

No caso de o campo tamanho de pelo menos , acho que esse problema é difícil. Mais especificamente, acho que se o acima pode ser resolvido com eficiência para desse tamanho, o CNF-SAT possui algoritmos aleatórios eficientes. Digamos que recebemos uma fórmula CNF . Pode-se facilmente criar um circuito aritmético que calcula uma `` aritmetização '' de , onde o polinômio concorda com a fórmula nas entradas - . Considere a multilinearização de . Observe que $F$ $2n$ $F$ $\varphi$ $C$ $p$ $\varphi$ $p$ $\varphi$ $0$ $1$ $q$ $p$ $q$ concorda com portanto, em . $p$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$

Eu afirmo que é diferente de zero se for satisfatório. Claramente, se , então não pode ser satisfeito. Por outro lado, pode-se mostrar que qualquer polinômio multilinear diferente de zero não pode desaparecer em todos os . Isso implica que um diferente de zero (e, portanto, o correspondente ) não desaparece em alguma entrada em . $q$ $\varphi$ $q=0$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$ $q$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$

Portanto, verificar a satisfação de é equivalente a verificar se é diferente de zero. Digamos, agora, que poderíamos avaliar em um campo grande $\varphi$ $q$ $q$ . Então, usando o Lema de Schwartz-Zippel, poderíamos testar a identidadeusando um algoritmo aleatório eficiente e verificar se é o polinômio zero (o tamanho deé usado para limitar o erro no Lema de Schwartz-Zippel). $F$ $q$ $F$

— Srikanth
fonte

Parece-me que F é um campo fixo porque não há nada na entrada que especifique F. Observe também que a pergunta assume que as operações de campo levam tempo unitário.

— Kaveh

Obrigado Srikanth. Como Kaveh adivinhou, eu estava realmente interessado no caso de campo finito fixo, mas essa resposta que você deu me ajuda a entender um pouco melhor a pergunta.

— #

Suponha que exista um algoritmo polytime que forneceu e calculou o resultado da multi-linearização de em . (wlog, assumirei que a saída será um vetor de números binários bits é se for um.) $C(\vec{x}) \in F(\vec{x})$ $\vec{a}$ $C$ $\vec{a}$ $\vec{b}$ $p$ $b_i$ $k$ $b_{i,k}$

Desde , existe um circuito booleano polysize que dada a codificação do circuito aritmético e os valores para as variáveis calcula a multi-linearização do circuito aritmético nas entradas. Vamos chamar esse circuito . $P \subseteq P/poly$ $M$

Seja um circuito aritmético arbitrário. Corrija as variáveis do circuito booleano que descrevem o circuito aritmético, para que tenhamos um circuito booleano que calcula a multi-linearização de em determinadas entradas. $C$ $M$ $C$

Nós podemos transformar este circuito para um circuito aritmético sobre notando que é para todos os valores, mas de maneira que primeiro levantar todas as entradas para a alimentação . Substituir cada portão por multiplicação , cada portão por e cada gate por . $F_p$ $x^{p-1}$ $1$ $0$ $p-1$ $f \land g$ $f.g$ $f \lor g$ $f+g-f.g$ $\lnot f$ $1-f$

Pela suposição que fizemos acima sobre o formato da saída, podemos transformar a saída de binária em valores acima de . Tome a saída para e combine-os para obter . $F_p$ $b_i$ $\sum_{0 \leq k \leq p-1}{kb_{i,k}}$

Também podemos converter a entrada fornecida como valores acima de para a forma binária, pois existem polinômios passando por qualquer número finito de pontos. Por exemplo, se estamos trabalhando no , considere os polinômios e que fornecem o primeiro e o segundo bits da entrada . $F_p$ $\bmod 3$ $2x(x+1)$ $2x(x+2)$ $x \in F_3$

Combinando estes temos um circuito aritmético sobre computar a multi-linearização de com tamanho polynomail no tamanho de . $F_p$ $C$ $C$

— Kaveh
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Não está claro para mim por que o circuito aritmético que você descreveu calcula a multilinearização de

, ou mesmo um polinômio multilinear. Eu só consigo ver que o circuito aritmético calcula algum polinômio que concorda com a multilinearização de

nas entradas

C

$C$

C

$C$

0

$0$

1

$1$

— Srikanth

@ Krikanth: a versão aritmética do circuito booleano

(com algumas entradas fixas) calcula a versão multilinear de

, não precisa ser multilinear. Em seguida, o único problema é que a entrada / saída estão em binário não os valores superiores a

, então eu só preciso para corrigir a codificação para entrada / saída de binário para originais valores de entrada e saída. O circuito resultante é um circuito aritmético que obtém os valores para variáveis de

, codifica-os em binário, calcula o valor da multilinearização de

sobre essas entradas e gera a resposta em binário e depois converte-os novamente em

M

$M$

C

$C$

F_{p}

$F_p$

C

$C$

C

$C$

F_{p}

$F_p$

— Kaveh

[continuou] O resultado é um circuito aritmético com as mesmas variáveis que

tem, e com os mesmos resultados, e é computar o multilinearization de

C

$C$

C

$C$

— Kaveh

@ Kaveh: Você assumiu que a entrada para o circuito booleano

é da mesma forma que a saída de

? De qualquer forma, ainda não estou convencido. É perfeitamente possível que um circuito aritmético calcule um polinômio

que concorda com um polinômio

em todas as entradas do campo e ainda assim

. Por exemplo, o polinômio

concorda com

em todas as entradas e, no entanto, elas não são iguais a polinômios. Como você sabe que o circuito

não está simplesmente computando um polinômio não multilinear que concorda com a multilinearização de

em todas as entradas?

M

$M$

M

$M$

f

$f$

g

$g$

f \neq g

$f\neq g$

x^{p}

$x^p$

x

$x$

M

$M$

C

$C$

— Srikanth

@ Krikanth: descrevi a forma de entrada e saída na minha resposta. A entrada para

está em binário, a saída de

está na forma declarada acima. Eu não disse que é multilinear, eu só disse que ele calcula a multilinearization do .

M

$M$

M

$M$ $C$

— Kaveh