Sistema de "equações estocásticas"

Considere um gráfico com vértices e arestas. Os vértices são rotulados com variáveis reais , onde é fixo. Cada aresta representa uma "medida": para a aresta , obtenho uma medida . Mais precisamente, é uma quantidade verdadeiramente aleatória em , distribuída uniformemente e independente de todas as outras medidas (arestas). $n$ $m$ $x_i$ $x_1=0$ $(u,v)$ $z \approx x_u - x_v$ $z$ $(x_u - x_v) \pm 1$

Recebo o gráfico e as medidas, com a promessa de distribuição acima. Eu quero "resolver" o sistema e obter o vetor de $x_i$ 's. Existe algum trabalho sobre problemas desse tipo?

Na verdade, eu quero resolver um problema ainda mais simples: pontos Alguém me para vértices e , e eu tenho que computação . Há muitas coisas a serem tentadas, como encontrar um caminho mais curto ou encontrar o maior número possível de caminhos separados e calculá-los como média (ponderada pelo inverso da raiz quadrada do comprimento). Existe uma resposta "ótima"? $s$ $t$ $x_s - x_t$

O problema de calcular não está completamente definido (por exemplo, devo assumir um prior nas variáveis?) $x_s - x_t$

ds.algorithms graph-algorithms

— Mihai
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Embora isso não seja uma resposta, usar um filtro Kalman ao longo de um caminho de s a t vem à mente como uma maneira de obter um controle decente do comprimento do caminho.

— Suresh Venkat

Isso pode não ajudar, ou pode ser muito mais tecnologia do que o necessário, mas existe uma teoria em desenvolvimento da topologia algébrica estocástica para abordar questões em robótica e biologia molecular sobre complexos cujas bordas são medidas imprecisamente. Existem teoremas sobre assintóticos de ligações aleatórias (ligação = gráfico com pesos das arestas). Por exemplo, acho que os resultados deste documento permitiriam obter os números de Betti esperados em seu gráfico: arxiv.org/abs/0708.2997

— Aaron Sterling

O fato de os erros serem distribuídos uniformemente em [-1,1] ao invés de alguma outra distribuição inerente ao seu problema ou a uma decisão de modelagem arbitrária? Neste último caso, você provavelmente pode tornar as coisas muito mais simples usando Gaussianos.

— Warren Schudy

O modelo de erro é certamente inerente ao problema.

\pm 1

$\pm 1$

— Mihai

Respostas:

A área para a qual você deseja obter respostas é o aprendizado de máquina. Você descreveu um modelo gráfico. Penso que, neste caso, métodos tão fáceis quanto a Propagação de Crenças devem ser suficientes.

— Rafael
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A propagação de crenças não é exata nos gráficos gerais. O problema de Mihai parece ser solucionável com métodos mais baseados em princípios do que propagação de crenças.

— 111110 Warren Schudy

$x$

— Warren Schudy
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s

$s$

t

$t$

x

$x$

x_{s} - x_{t}

$x_s-x_t$

x_{s} - x_{t}

$x_s-x_t$

x_{s} - x_{t} = c

$x_s - x_t = c$

— 111110 Warren Schudy

É claro que calcular o volume do politopo específico em questão poderia ser muito mais fácil. Eu teria que pensar sobre isso.

— Warren Schudy 11/11/2010

Suspeito que os gaussianos se comportem melhor, pois o MLE da distribuição conjunta também fornece o MLE de cada variável. Mas eu teria que pensar mais e / ou procurá-lo para ter certeza.

— Warren Schudy 11/11/2010

Seu exemplo de série / paralelo sugere que minimizar a soma dos resíduos quadráticos pode ser uma heurística eficaz para alguns gráficos, mesmo quando seus erros não são gaussianos.

— Warren Schudy