Como o documento BosonSampling evita classes fáceis de matrizes complexas?

Em A complexidade computacional da óptica linear ( ECCC TR10-170 ), Scott Aaronson e Alex Arkhipov argumentam que se computadores quânticos podem ser eficientemente simulados por computadores clássicos, a hierarquia polinomial entra em colapso para o terceiro nível. O problema motivador é a amostragem de uma distribuição definida por uma rede linear-óptica; essa distribuição pode ser expressa como permanente de uma matriz específica. No caso clássico, todas as entradas da matriz são não negativas e, portanto, existe um algoritmo de tempo polinomial probabilístico, como mostrado por Mark Jerrum, Alistair Sinclair e Eric Vigoda (JACM 2004, doi: 10.1145 / 1008731.1008738) No caso quântico, as entradas são números complexos. Observe que, no caso geral (quando não é necessário que as entradas sejam negativas), a permanente não pode ser aproximada, mesmo dentro de um fator constante, pelo resultado clássico de 1979 da Valiant.

O artigo define uma distribuição definida por uma matriz A e um problema de amostragem$D_A$$A$

BosonSampling
Entrada: matriz Amostra: da distribuição D $A$
$D_A$

Usar um resultado de dureza parece ser uma evidência fraca para uma separação entre os mundos clássico e quântico, uma vez que é possível que a classe de matrizes na configuração quântica específica seja de forma especial. Eles podem ter entradas complexas, mas ainda podem possuir muita estrutura. Portanto, poderia existir um procedimento de amostragem eficiente para essas matrizes, mesmo que o problema geral seja difícil.

Como o uso do BosonSampling no artigo evita aulas fáceis?

O artigo utiliza muitos antecedentes que não tenho em complexidade quântica. Dadas todas as pessoas quânticas deste site, eu realmente aprecio um ponteiro na direção certa. Como os argumentos se sustentariam se alguém descobrisse que a classe de matrizes de valor complexo vista em uma configuração experimental específica realmente correspondia a uma classe de distribuições fáceis de amostrar? Ou há algo inerente ao sistema quântico que garanta que isso não possa acontecer?

Obrigado pela sua pergunta! Existem duas respostas, dependendo de você estar interessado nos resultados da dureza para o BosonSampling exato ou aproximado .

No caso exato, provamos que, dada qualquer matriz complexa n-por-n A, você pode construir um experimento óptico que produza uma saída específica com probabilidade proporcional a | Per (A) | ² . Isso, por sua vez, implica que nenhum algoritmo clássico de tempo polinomial pode amostrar exatamente da mesma distribuição que o experimento óptico (dada uma descrição do experimento como entrada), a menos que P ^#P = BPP ^NP . De fato, podemos reforçar isso, para fornecer uma única distribuição D _n (dependendo apenas do comprimento da entrada n) que pode ser amostrada usando um experimento óptico de tamanho poli (n), mas que não pode ser amostrada classicamente em poli (n ) tempo, a menos que P ^#P = BPP ^NP .

No caso aproximado, a situação é mais complicada. Nosso principal resultado diz que, se houver um algoritmo clássico de tempo polinomial que simule o experimento óptico até aproximadamente (no sentido de amostragem de uma distribuição de probabilidade sobre as saídas que são 1 / poli (n) próximas da distância de variação), então no BPP ^NP , você pode aproximar | Por (A) | ² , com alta probabilidade sobre uma matriz n-por-n A de iid Gaussians com média 0 e variância 1.

Nós conjecturar que o problema acima é # P-rígido (pelo menos, não em BPP ^NP ), e as páginas 57-82 de nosso papel são todos sobre a evidência para essa conjectura.

Certamente, talvez nossa conjectura seja falsa, e podemos realmente fornecer um algoritmo de politempo para aproximar as permanentes das matrizes Gaussianas. Isso seria um resultado fenomenal! No entanto, o objetivo de 85% do trabalho que fizemos foi basear tudo em uma conjectura de dureza que fosse o mais limpa, simples e "livre de quantum" possível. Em outras palavras, em vez da suposição

"aproximar as permanentes de algumas matrizes especiais estranhas que surgem em nosso experimento é difícil de usar"

mostramos que basta fazer a suposição

"aproximar as permanentes das matrizes Gaussianas é difícil de usar."