Aplicações da topologia à ciência da computação

Eu gostaria de escrever uma pesquisa sobre as aplicações da Topologia em Ciência da Computação. Pretendo cobrir a história das idéias topológicas em Ciência da Computação e também destacar alguns desenvolvimentos atuais. Seria extremamente útil se alguém pudesse dar uma opinião sobre qualquer uma das perguntas abaixo.

1. Existem documentos ou notas que descrevam a cronologia do uso da topologia em Ciência da Computação?

2. Qual é a aplicação mais importante dos resultados em Topologia para Ciência da Computação?

3. Quais são as áreas mais interessantes do trabalho atual que usam a topologia para obter informações sobre computação?

Obrigado!

Pessoalmente, acho que a aplicação mais interessante da topologia foi o trabalho realizado por Herlihy e Shavit. Eles usaram a topologia algébrica para caracterizar a computação distribuída assíncrona e deram novas provas de importantes resultados conhecidos e eliminaram vários problemas abertos de longa data. Eles ganharam o prêmio Godel de 2004 por esse trabalho.

"A estrutura topológica da computação assíncrona", de Maurice Herlihy e Nir Shavit, Jornal da ACM, vol. 46 (1999), 858-923,

A topologia é uma disciplina tão madura, com subcampos variados, incluindo topologia geométrica, algébrica, métrica, de conjunto de pontos e (a auto-depreciativa) sem sentido. A ciência da computação também é bastante ampla e possui muitas subáreas matemáticas, portanto, eu esperaria muitas aplicações de idéias topológicas no CS. Marshall Stone disse "sempre topologize", e os cientistas da computação com a experiência necessária costumam ter. Chega de blá. Alguns exemplos

Esses exemplos não são apenas problemas difíceis de CS resolvidos pela topologia. Às vezes, uma noção topológica se transfere muito bem para uma configuração de CS ou fornece a base para uma subárea de CS.

1. O teorema da compactação da lógica proposicional é uma conseqüência do teorema de Tychonoff. A compactação para a lógica de primeira ordem geralmente é comprovada de maneira diferente. A compactação é uma ferramenta importante na teoria clássica dos modelos.

2. O teorema da representação de Stone para álgebras booleanas relaciona modelos de lógica proposicional, álgebras booleanas e certos espaços topológicos. Os resultados da dualidade do tipo pedra foram obtidos para estruturas usadas na lógica algébrica e na semântica da linguagem de programação.

3. Nick Pippenger aplicou o teorema de Stone à álgebra booleana de linguagens regulares e usou a topologia para provar vários fatos sobre linguagens regulares. Veja o comentário de Jean-Eric Pin para trabalhos mais recentes sobre topologia em teoria da linguagem.

4. Nos métodos formais, existem as noções de segurança e propriedade de vivacidade. Toda propriedade de tempo linear pode ser expressa como a interseção de uma propriedade de segurança e de vivacidade. A prova usa topologia elementar.

5. Martín Escardó desenvolveu algoritmos e programas escritos para pesquisar conjuntos infinitos. Acredito que a compactação é um ingrediente-chave desse trabalho.

6. O trabalho de topologistas poloneses (como Kuratowski) nos deu operadores de fechamento. Os operadores de fechamento em redes são uma parte crucial da teoria da interpretação abstrata, subjacente à análise estática de programas.

7. Operadores de fechamento e outras idéias topológicas são a base da morfologia matemática.

8. A noção de operadores de interiores também da escola polonesa é importante na axiomatização da lógica modal.

9. Muita ciência da computação é baseada em estruturas baseadas em gráficos. Algumas aplicações requerem noções mais ricas de conectividade e fluxos do que as fornecidas por gráficos e topologia é o próximo passo natural. Esta é a minha leitura do autômato de alta dimensão de van Glabbeek na teoria da concorrência e da aplicação da topologia geométrica por Eric Goubault à semântica de programas concorrentes.

10. Possivelmente, a aplicação que recebe mais destaque é a aplicação de topologia (inicialmente algébrica, embora também exista mais apresentações combinatórias) para caracterizar certos cenários de tolerância a falhas na computação distribuída. Além de Herlihy e Shavit mencionados acima, Borowsky e Gafni, e Saks e Zaharouglou também deram proosf pela primeira inovação desse tipo. A estrutura de computabilidade assíncrona produziu mais resultados desse tipo.

11. O teorema do ponto fixo de Brouwer deu origem a vários problemas que estudamos. Mais recentemente, no estudo da teoria algorítmica dos jogos, na classe de complexidade PPAD e na classe de complexidade FixP de problemas de pontos fixos.

12. O teorema de Borsuk-Ulam tem várias aplicações em gráficos e aplicações métricas. Estes são abordados no livro de Jiří Matoušek.

Essas são poucas escolhas no que está por aí. Boa sorte!

$D\cong [D\to D]$$\lambda$-cálculo. A semântica é fundamentalmente baseada na noção de aproximação, dada pela ordenação, e a solução de equações com menos pontos fixos, e soluções geralmente garantem a existência.

A partir da semântica denotacional são conexões com a interpretação abstrata e análise e verificação de programas.

A pesquisa atual inclui o fornecimento de semântica denotacional para simultaneidade e para linguagens quânticas.

Abramsky e Jung fazem uma boa pesquisa das idéias centrais: Teoria do Domínio .

Limites no número de componentes conectados e, mais geralmente, números de Betti, de variedades semi-algébricas e arranjos de hiperplanos (e seus complementos) têm sido usados ​​para vários limites inferiores em computação algébrica e árvores de decisão. Para apenas algumas grandes referências, consulte:

Michael Ben-Or, Limites inferiores para árvores de computação algébrica, STOC 1983, pp. 80-86.

Andrew Chi-Chih Yao, Complexidade da árvore de decisão e números de Betti, J. Comput. Sci do sistema 55 (1997), n. 1, parte 1, 36-43 (STOC 1994).

Anders Bjorner e Laszlo Lovasz, Árvores de decisão lineares, arranjos de subespaços e funções de Mobius, J. Amer. Matemática. Soc. 7 (1994), n. 3, 677-706.

Em uma veia diferente, mas um tanto relacionada, Smale usou a topologia de uma maneira bastante interessante (em particular, a co-homologia do grupo de tranças) para diminuir a complexidade da busca de raízes no modelo Blum-Shub-Smale:

Smale, S. Sobre a topologia de algoritmos, IJ Complexity, 3 (2): 81-89, 1987.

$2^{\omega}$

Isso está relacionado à resposta de Dave e à teoria do domínio. O argumento básico aqui é que a computabilidade é inerentemente baseada em operações locais e observações finitas . Você pode pensar em computabilidade como uma noção refinada de topologia. O exemplo mais claro é que:

Todas as funções computáveis ​​(oracle Turing) são contínuas. Por outro lado, toda função contínua é oracle Turing computável com um oracle adequado.

Você pode encontrar mais no livro de Klaus Weihrauch "Computable Analysis". Você também pode dar uma olhada no belo livro de Steven Vickers chamado "Topologia via lógica".

Dois outros documentos que podem ser relevantes para sua pesquisa ...

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, Uma abordagem topológica do reconhecimento, ICALP 2010, Parte II, Notas de aula em Ciência da computação 6199, Springer Verlag, (2010), 151-162.

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, Dualidade e teoria equacional das línguas regulares, prêmio de melhor artigo da ICALP 2008, faixa B, ICALP 2008, parte II, notas de aula em ciência da computação 5126, Springer Verlag, (2008), 246-257.

Não esqueça a conjectura de Kneser e a prova de Kahn / Saks / Sturtevant da conjectura de Aandera-Rosenberg-Karp.

Não vi o trabalho mencionado de Robert Ghrist , anteriormente em Illinois, mas agora em U Penn, aplicando topologia em coisas como redes de sensores e robótica. Aqui está uma boa entrevista.

Também muito relacionado ao trabalho de Gunnar Carlsson et al. Sobre a aplicação de topologia à análise de dados .

Talvez não o STOC / FOCS TCS, mas definitivamente a ciência da computação.

Teorias para entender simultaneidade e modelagem de cálculos simultâneos são melhor compreendidas topologicamente. Além do famoso trabalho de Herlihy e Shavit sobre a estrutura topológica da computabilidade assíncrona mencionada em uma resposta anterior - Eric goubault fez um trabalho sobre modelagem simultânea com geometria e o trabalho de Pratt sobre aplicações de espaços Chu para simultaneidade no grupo Stanford Concurrency também é interessante. embora eu não esteja familiarizado com o trabalho deles.

Todo o trabalho iniciado por Kitaev na abordagem topológica de um computador quântico tolerante a falhas. Veja o artigo original de Kitaev ou, por exemplo, as notas de aula de John Preskill .

Ninguém mencionou ainda a topologia algébrica direcionada , que foi de fato desenvolvida para fornecer uma caixa de ferramentas topológica algébrica adequada para o estudo da simultaneidade.

Também existem várias abordagens topológicas de baixa dimensão para tópicos na teoria da computação, todas relativamente novas:

• Várias abordagens para o cálculo quântico anyonic tolerante a falhas com base na teoria das tranças. Veja, por exemplo, AQUI e AQUI . Também para redes de cálculos quânticos adiabáticos AQUI .
• Formalismos diagramáticos baseados em topologia para cálculo lambda (por exemplo , AQUI , páginas 46-48 e AQUI ) e para o cálculo pi de Milner ( AQUI ).
• Usando concatenação de emaranhados coloridos para modelar recursão e cadeias de Markov. Veja, por exemplo, AQUI e AQUI . De fato, está provado (não publicado) que qualquer cálculo de máquina de Turing e qualquer rede neural recorrente de primeira ordem podem ser modelados dessa maneira.
• Existe um formalismo teórico de categoria mais alta para computação quântica, em que diagramas topológicos representam cálculos, e diagramas topologicamente equivalentes representam procedimentos diferentes com conteúdo computacional idêntico. Veja AQUI .

Alguns aplicativos para incorporação de métricas.

Confira este livro de Matousek: http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html

Verifique também estes documentos:

• Incorporação de Bi-Lipschitz em espaços euclidianos de baixa dimensão, J. Matousek (1990) (Ele usa o teorema de van Kampen para provar um limite inferior)
• Inaproximabilidade para Incorporação Métrica em R ^ d, J. Matousek e A. Sidiropoulos

Leia este livro:

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Confira este livro, Computational Complexity: A Quantitative Perspective, estuda o tamanho de algumas classes de complexidade usando ferramentas topológicas limitadas por recursos.

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