Se P = NP fosse verdadeiro, os computadores quânticos seriam úteis?

Suponha que P = NP seja verdadeiro. Haveria alguma aplicação prática na construção de um computador quântico, como resolver certos problemas mais rapidamente, ou alguma melhoria seria irrelevante com base no fato de P = NP ser verdadeiro? Como você caracterizaria a melhoria da eficiência que aconteceria se um computador quântico pudesse ser construído em um mundo onde P = NP, em oposição a um mundo em que P! = NP?

Aqui está um exemplo inventado sobre o que estou procurando:

Se P! = NP, vemos que a classe de complexidade ABC é igual à classe de complexidade quântica XYZ ... mas se P = NP, a classe ABC entra em colapso na classe relacionada UVW de qualquer maneira.

(Motivação: estou curioso sobre isso e relativamente novo na computação quântica; migre esta questão se ela não estiver suficientemente avançada.)

O artigo " BQP e a hierarquia polinomial " de Scott Aaronson aborda diretamente sua pergunta. Se P = NP, o PH entraria em colapso. Se, além disso, o BQP estivesse em PH, não seria possível uma aceleração quântica nesse caso. Por outro lado, Aaronson fornece evidências de um problema com a aceleração quântica fora da HP, portanto, essa aceleração sobreviveria ao colapso da HP.

A resposta é um inequívoco sim. Computadores quânticos definitivamente ainda seriam úteis.

Computadores quânticos não são oráculos para o BQP, mas dispositivos que processam estados quânticos e podem se comunicar usando estados quânticos. Assim como a capacidade de fazer consultas não determinísticas é fundamentalmente mais poderosa do que a capacidade de fazer consultas puramente determinísticas, independentemente do status de P vs NP (e, de fato, essa é a raiz das separações do oráculo), a capacidade de fazer consultas quânticas e se comunicar usando estados quânticos é fundamentalmente mais poderoso que o equivalente puramente clássico.

Isso leva a vantagens em uma ampla gama de aplicações

1. A capacidade de consultar oráculos ou bancos de dados externos em superposição fornece uma separação comprovável entre computadores quânticos e computadores clássicos em termos de complexidade de consultas.
2. Há uma variedade de tarefas de comunicação que vêem reduções drásticas no custo de comunicação, sendo utilizada a comunicação quântica.
3. O processamento quântico de informações permite protocolos de informações teoricamente seguras para uma ampla gama de problemas do que é classicamente possível. Certamente, o QKD não requer que um computador quântico universal seja implementado, mas muitos protocolos para outras tarefas exigem.
4. O pré e pós-processamento de grandes estados quânticos emaranhados permite violar o limite de ruído de tiro na metrologia, resultando em medições mais precisas.

Além dos argumentos de complexidade, há outro motivo prático para querer computadores quânticos. Atualmente, muitos dos dados processados ​​em computadores clássicos são derivados da detecção do mundo natural (por exemplo, através do CCD em uma câmera digital). No entanto, essas medições necessariamente descartam algumas informações sobre o sistema, a fim de renderizar o resultado da medição como uma sequência de bits clássica (por exemplo, colapsando superposições espaciais de fótons), e nem sempre é claro que informação será considerada mais importante quando inicialmente gravando os dados. Portanto, é razoável acreditar que a capacidade de armazenar e processar estados quânticos diretamente, em vez de colapsá-los em alguma base antes do processamento, se tornará cada vez mais desejável.

Abordando a parte prática.

$P=NP$$O(n^{2^{10^3}})$

$O(n^{10^{10000}})$

Até onde eu sei, o computador quântico suficientemente poderoso será de interesse prático neste caso.

Existem estudos na relação entre o BQP e a hierarquia polinomial da HP. Por exemplo, há um problema relativo ao qual o BQP não está contido no PH ( http://arxiv.org/abs/0910.4698 ) e uma conjectura que comprova o mesmo resultado em um mundo não relativizado ( http://arxiv.org /abs/1007.0305$P^{\# P}\subseteq BPP^{PH}$

Em conclusão, não sabemos qual é o poder exato dos computadores quânticos, mas há resultados sugerindo que o BQP pode estar fora do PH.