Multiplicação de matriz quântica?

Não parece que isso seja conhecido - mas existem limites inferiores interessantes sobre a complexidade da multiplicação de matrizes no modelo de computação quântica? Temos alguma intuição de que possamos superar a complexidade do algoritmo Coppersmith-Winograd usando computadores quânticos?

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— Henry Yuen
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Respostas:

No arXiv: quant-ph / 0409035v2, a Buhrman e a Spalek apresentam um algoritmo quântico superando o algoritmo de Coppersmith-Winograd nos casos em que a matriz de saída possui poucas entradas diferentes de zero.

Atualização: Há também um algoritmo quântico ligeiramente aprimorado por Dörn e Thierauf .

Atualização: Existe um algoritmo quântico aprimorado por Le Gall derrotando Burhman e Spalek em geral.

— Martin Schwarz
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Isso era novo para mim (eu sei pouco sobre resultados quânticos), mas olhando para o jornal, o resultado foi ainda mais surpreendente! Se, para

multiplicações de matrizes, há

A_{n x m} B_{m x n} = C_{n x n}

$A_{nxm}B_{mxn}=C_{nxn}$

entradas diferentes de zero na saída, o produto pode ser calculado em temposub-quadrático,

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

o (n m)

$o(nm)$

— Daniel Daniel Apon

n^{1.3} w^{17 / 30}, n^{2} + w^{47 / 60} n^{13 / 15}

$n^{1.3}w^{17/30}, n^2 + w^{47/60} n^{13/15}$

w

$w$

n w^{1 / 2}

$nw^{1/2}$

$v^\dagger X Y v$ $v X^{-1} v$ $X$

— Joe Fitzsimons
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v^{'} X Y v

$v'XYv$

@Aram: Bom ponto! Sei que seu algoritmo funciona para matrizes esparsas, mas fiquei com a impressão de que também poderia funcionar para certas matrizes não esparsas. Isso está correto?

— precisa

Sim, funciona para matrizes não esparsas sempre que conhecemos boas maneiras de simular esses hamiltonianos. Então, talvez algo não trivial seja possível aqui.

— Aram Harrow

@ Aram: Com a codificação usada, também não obtemos a transformação de Fourier de todas as matrizes esparsas via QFT?

— Joe Fitzsimons

@ Joe: Acabei de perceber isso. Sim, essas matrizes (que você pode considerar esparsas na base do momento) também são utilizáveis. Isso não é nada exclusivo do nosso algoritmo. Pelo contrário, é uma declaração sobre a classe de hamiltonianos que sabemos como simular em um computador quântico.

— Aram Harrow