A complexidade de verificar se duas CNF têm o mesmo número de soluções

Dadas duas CNF, se elas tiverem o mesmo número de atribuições para torná-las verdadeiras, responda "Sim", caso contrário, responda "Não".

É fácil ver que está em , pois se soubermos o número exato de soluções para essas duas CNF, apenas as colocamos em campo e respondemos "Sim" ou "Não". $P^{\#P}$

Qual é a complexidade desse problema?

cc.complexity-theory complexity-classes counting-complexity

— Mike Chen
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Respostas:

O problema é coNP -hard; você pode facilmente reduzir o problema UNSAT para esse problema.

Uma caracterização mais precisa é que o problema é C ₌ P - completo. De fato, uma definição da classe C ₌ P é que é a classe de problemas que são polinomiais muitos redutíveis a esse mesmo problema (geralmente essa definição é declarada em termos de funções GapP ). Mas como isso não diz muito, deixe-me definir essa classe de outra maneira.

Seja C ₌ P a classe de problemas que são polinomiais muitos redutíveis ao seguinte problema: dado um circuito booleano φ e um número inteiro K (em binário), decida se o número de atribuições satisfatórias de φ é igual a K . Por uma redução padrão que mostra a # P-completude do # 3SAT, podemos restringir φ a uma fórmula 3CNF sem afetar a classe. A classe C ₌ P contém uma classe chamada US , que contém UP e coNP.

Com esta definição, seu problema é C ₌ P-completo. Na verdade, é fácil ver a dureza C ₌ P a partir da definição da classe C ₌ P (que usa fórmulas 3CNF).

Para provar a participação em C ₌ P, suponha que devemos decidir se duas fórmulas da CNF φ ₁ e φ ₂ têm o mesmo número de tarefas satisfatórias ou não. Sem perda de generalidade, podemos assumir que as duas fórmulas têm o mesmo número de variáveis, digamos n . Construa um circuito booleano φ que recebe n +1 bits como entrada para que o número de atribuições satisfatórias de φ seja igual a c ₁ + (2 ⁿ - c ₂ ), onde c ₁ e c ₂ser o número de atribuições satisfatórias de φ ₁ e φ ₂ , respectivamente. Então o número de atribuições satisfatórias de φ é igual a 2 ⁿ se e somente se c ₁ = c ₂ .

— Tsuyoshi Ito
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@Kaveh: Você pode elaborar?

— Tsuyoshi Ito

@ Kaveh: Não, não é isso que queremos. Queremos decidir se φ_1 e φ_2 têm o mesmo número de tarefas satisfatórias, não necessariamente o mesmo conjunto de tarefas satisfatórias.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Com base na sua definição de

, GI está em

? Eu penso que, pelo menos, GI

C_{=} P

$C_=P$

C_{=} P

$C_=P$

\subseteq F P^{C_{=} P}

$\subseteq FP^{C_=P}$

— Mike Chen

@ Mike: Obrigado pelo comentário interessante. Você está falando sobre o resultado do isomorfismo do gráfico ∈ SPP (Arvind e Kurur 2006 dx.doi.org/10.1016/j.ic.2006.02.002 )? Se sim, você está certo; SPP está contido em

, de modo gráfico Isomorfismo ∈

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— Tsuyoshi Ito

@ Mike: Eu aprendi que antes do resultado GraphIso∈SPP, sabia-se que GraphIso∈ LWPP : Köbler, Schöning e Torán 1992 . Como LWPP ⊆ WPP ⊆

, nós não precisamos do resultado mais forte por Arvind e Kurur dizer que GraphIso∈

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— Tsuyoshi Ito

Aqui está uma pequena variação na pergunta original. Seja um oráculo que, na entrada $O$ gera 1 se CNF tivermaissoluções que CNF . $(f_1,f_2)$ $f_1$ $f_2$

Dado esse oráculo, construímos uma máquina poli-time que pode resolver o problema # P-complete de calcular o número de soluções para uma determinada CNF . Observe que pode ter um número exponencial de soluções. $M$ $\varphi$ $\varphi$

funciona da seguinte maneira: Gera fórmulas com número conhecido de soluções, e utilizando busca binária e pedindo a maioria das consultas polinomiais para , ele encontra uma fórmula que temo mesmonúmero de soluções como . Finalmente, gera o número de soluções encontradas. $M$ $O$ $\varphi_i$ $\varphi$

Isso mostra que tem complexidade #P. $M^O$

— MS Dousti
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Perdoe minha ignorância, mas como você gera uma fórmula com um número pré-especificado de soluções?

— Giorgio Camerani

Seja M um número de bits (k + 1)

sejam os índices

onde

. Faça uma fórmula com variáveis

. Para cada

, seja

a seguinte sub-fórmula: "Todos os

M = \sum_{i = 0}^{k} m_{i} 2^{i}

$M = \sum_{i=0}^k m_i 2^i$

S

$S$

i

$i$

m_{i} = 1

$m_i=1$

x_{0}, \dots, x_{k}

$x_0, \ldots, x_k$

y_{0}, \dots, y_{k}

$y_0, \ldots, y_k$

i \in S

$i \in S$

F_{i}

$F_i$

verdadeiros E entre

{x_{0}, \dots, x_{k - i}}

$\{x_0,\ldots,x_{k-i}\}$

única

é verdade ".

tem

atribuições satisfazendo (as variáveis

são livres ), e para

, as atribuições satisfatórias de

são desarticuladas devido a

{y_{0}, \dots, y_{k}}

$\{y_0, \ldots, y_k\}$

y_{i}

$y_i$

F_{i}

$F_i$

2^{i}

$2^i$

{x_{k - i + 1}, \dots, x_{k}}

$\{x_{k-i+1}, \ldots, x_k\}$

i \neq j

$i\ne j$

F_{i}

$F_i$

F_{j}

$F_j$

y

$y$ variáveis. A fórmula

tem

atribuições satisfatórias.

\underset{i \in S}{⋁} F_{i}

$\bigvee_{i\in S} F_i$

M

$M$

— Mikero

Observe que é PP-completo para decidir se, dadas duas fórmulas CNF f_1 ef_2, f_1 possui atribuições mais satisfatórias que f_2 ou não.

— Tsuyoshi Ito

@ mikero: Ah, me estúpido! Eu deveria ter imaginado isso. Obrigado pela sua explicação esclarecedora.

— Giorgio camerani

Parece que é pelo menos NP-difícil, pois é possível construir facilmente uma fórmula SAT com apenas uma solução. Então, pelo teorema de Valiant-Vazirani, há uma redução probabilística de cada fórmula SAT para um conjunto de problemas de Unique-SAT (determinando se uma fórmula tem uma solução única) e comparando esses problemas de Unique-SAT com a fórmula SAT construída com apenas uma solução permite determinar a satisfação da fórmula SAT em consideração.

— Optar
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Para ser mais preciso, a primeira frase deve mencionar “sob redutibilidade aleatória” (embora você a mencione na segunda frase).

— Tsuyoshi Ito