Acho que o seguinte deve responder às suas perguntas, mesmo que não esteja exatamente na mesma ordem.
A formulação original da conjectura de expansão de conjunto pequeno afirma que, analogamente à conjectura de jogos exclusivos, para cada existe modo que é NP difícil determinar se em um gráfico é o "SIM" caso em que exista um conjunto de tamanho com expansão menor que ou seja o caso "NÃO" em que todo conjunto de tamanho tenha expansão de pelo menos . O artigo de Raghavendra, Steuerer e Tulsiani https://www.cs.cornell.edu/~dsteurer/papers/ssereductions.pdf mostrou que isso é equivalente ao caso em queϵ>0δ>0Gδϵδ1−ϵϵ=O(log(1/δ))e de fato o caso em que no caso NO, para cada , conjuntos de tamanho têm pelo menos a mesma expansão que teriam no " gráfico gaussiano noisy" (veja o artigo para a declaração precisa). A razão para a relação é porque esta é a relação entre esses parâmetros no gráfico de ruído gaussiano. Esse resultado de Raghavendra et al. Pode ser pensado como o analógico de expansão de pequeno conjunto do artigo de Khot, Kindler, Mossell e O'Donnell, que mostrou um resultado semelhante para jogos únicos, fornecendo uma relação muito precisa entre os parâmetros (que na configuração de jogos exclusivos é conhecido como tamanho do alfabeto) eδ′≥δδ′ϵϵ=O(log(1/δ))1/δϵ.
O resultado que você mencionou discutido em minhas notas de aula é da Seção 8 em meu artigo com Brandao, Harrow, Kelner, Steurer e Zhou ( https://www.cs.cornell.edu/~dsteurer/papers/hypercontract.pdf ). O que mostramos lá, grosso modo, é que um gráfico é um pequeno expansor de conjunto, se e somente se o intervalo de vetores próprios correspondendo a valores próprios baixos do seu Laplaciano não contiver um vetor "analiticamente esparso".
A intuição é a seguinte: considere os dois extremos a seguir:
1) Um vetor aleatório . Nesse caso, a distribuição das entradas de é aproximadamente a distribuição gaussiana e, portanto, isso satisfaz que .wwEiw4i=O(Eiw2i)2
2) Um vetor que é o vetor característico de um conjunto de medidas (ou seja, possui nas coordenadas pertencentes ao conjunto e nas outras). Nesse caso, .wδ10Eiw4i=δ≫δ2=(Eiw2i)2
Agora, grosso modo, o subespaço correspondente a valores próprios menores que do Laplaciano corresponde a um conjunto que possui expansão no máximo no gráfico. Portanto, se existe um conjunto de tamanho com essa expansão, haveria um vetor (ou seja, a projeção do vetor característico deste conjunto para ) com . A outra direção (que é mais difícil de provar, mas acaba sendo verdadeira) é que, se houver um vetor com essa propriedade, também podemos encontrar um conjunto com medida com expansão não muito boa.£ £ ô W W E i w 4 i » ( E i w 2 i ) 2 w O ( 1 )WϵϵδwWEiw4i≫(Eiw2i)2wo(1)