Maior célula em um arranjo

Q . Qual é a complexidade de encontrar a maior célula delimitada por volume em um arranjo de hiperplanos na dimensão ? $n$ $d$

Sinto que deveria saber disso ... Mas não estou encontrando uma referência definitiva.

É ? E a especialização : a maior célula delimitada por área em um arranjo de linhas? $\Omega(n^d)$ $d{=}2$

computational-geometry high-dimensional-geometry arrangements

— Joseph O'Rourke
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De alguma forma, fazer melhor que parece difícil. Se a célula for significativamente maior que o tamanho médio esperado, pode-se usar a amostragem para encontrá-la. Formalmente, assuma que as células delimitadas (no plano) formam um polígono da área (esse polígono pode ser calculado em tempo quase linear no plano). Suponha que a maior célula delimitada no arranjo de linhas, tenha a área seja o conjunto de pontos resultante. Com alta probabilidade, um dos pontos cai dentro de , e o cálculo de todas as faces do arranjo que contém os pontos de leva $O(n^d)$ $1$ $Q$ $C$ . Amostra, pontos de - e deixe $\alpha \gg 1/n^2$ $m = (\log n)/\alpha$ $Q$ $P$ $C$ $P$ hora usando magia padrão (isto é, algoritmos para calcular muitas faces no arranjo de linhas). $O(( n^{2/3} m^{2/3} + n + m)*\mathrm{polylog})$

$\alpha$ $O\Bigl( \bigl(n + 1/\alpha + n^{2/3}/\alpha^{2/3}\bigr) \mathrm{polylog n}\Bigr)$ $\alpha$ $Q$

— Sariel Har-Peled
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α ≫ 1 / n^{2}

$\alpha \gg 1/n^2$