Sabe-se que existem funções com a seguinte propriedade de soma direta?

Essa pergunta pode ser feita tanto na estrutura da complexidade dos circuitos booleanos, quanto na teoria da complexidade algébrica, ou provavelmente em muitas outras configurações. É fácil mostrar, contando argumentos, que existem funções booleanas em N entradas que exigem exponencialmente muitas portas (embora, é claro, não tenhamos nenhum exemplo explícito). Suponha que eu deseje avaliar a mesma função M vezes, para algum número inteiro M, em M conjuntos distintos de entradas, de modo que o número total de entradas seja MN. Ou seja, queremos apenas avaliar para a mesma função a cada vez.$f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})$$f$

A questão é: sabe-se que existe uma sequência de funções (uma função para cada N), de modo que, para qualquer N, para qualquer M, o número total de portas necessárias seja pelo menos igual a M vezes a função exponencial de N? O argumento da contagem simples parece não funcionar, pois queremos que esse resultado seja válido para todos os M. Pode-se chegar a análogos simples dessa questão na teoria da complexidade algébrica e em outras áreas.$f$

Bem, isso é falso: é possível avaliar M cópias de QUALQUER f usando apenas portas O (N (M + 2 ^ N)) que podem ser muito menores que M * exp (N) (de fato, você é amortizado linearmente). complexidade para M exponencial). Não me lembro de uma referência, mas acho que pode ser algo como o seguinte:

Primeiro adicione 2 ^ N entradas fictícias que são apenas constantes 0 ... 2 ^ N-1 e agora denotam a i-ésima entrada de bits N por xi (assim, para i <= 2 ^ N, temos xi = i, e para 2 ^ N <i <= 2 ^ N + M temos as entradas originais). Agora criamos um trigêmeo para cada uma das entradas M + 2 ^ N: (i, xi, fi) em que fi é f (i) para as primeiras 2 ^ N entradas (uma constante que é conectada no circuito) e fi = "*" de outra forma. Agora, classificamos os trigêmeos (i, xi, fi) de acordo com a chave xi, e deixemos o j-ésimo trigêmeo (i_j, x_j, f_j) a partir disso, calculamos um trigêmeo (i_j, x_j, g_j), deixando g_j ser f_j se f_j não for um "*" e deixe g_j ser g_ (j-1) caso contrário. Agora ordene os novos trigêmeos de volta de acordo com a chave i_j, e você terá as respostas corretas nos lugares corretos.

$O(2^n/n)$$m$$m$$f$$m 2^n/n$

"Redes que computam funções booleanas para vários valores de entrada"

que isso é falso: contanto que , é possível calcular m instâncias de qualquer f com um circuito do tamanho O ( 2 n / n ) - basicamente o mesmo custo que para m = 1 !$m = 2^{o(n/\log n)}$$m$$f$$O(2^n/n)$$m = 1$

Não consigo encontrar uma cópia não fechada on-line ou uma página inicial para o autor, mas me deparei com o artigo neste processo:

Complexidade da função booleana (série de notas de aula da London Mathematical Society)

Em relação à complexidade algébrica, não conheço um exemplo em que a complexidade exponencial se reduz à complexidade amortizada subexponencial, mas pelo menos há um exemplo simples de que a complexidade de M cópias disjuntas pode ser significativamente menor que M vezes a complexidade de uma única cópia :

Para uma matriz "aleatória" n * n A, a complexidade da forma bilinear definida por A (a função f_A (x, y) = xAy, onde xey são 2 vetores de comprimento n) é Omega (n ^ 2 ) - isso pode ser mostrado por um argumento de dimensão "tipo contagem", pois você precisa de n ^ 2 "locais" no circuito para colocar constantes. No entanto, dados n pares diferentes de vetores (x ^ 1, y ^ 1) ... (x ^ n, y ^ n), você pode colocar os x's nas linhas de uma matriz n * n X e, da mesma forma, os y's nas colunas de uma matriz Y e, em seguida, leia todas as respostas x ^ iAy ^ i na diagonal de XAY, onde isso é calculado em n ^ 2,3 (mais ou menos) operações usando multiplicação de matriz rápida, significativamente menor que n * n ^ 2

Isso foi estudado e resolvido por Wolfgang Paul, que mostrou essencialmente o que é discutido.