Complexidade da versão de pesquisa do 2-SAT assumindo

Se , então há um algoritmo logspace que resolve a versão decisão de 2-sab. $\mathsf{L = NL}$

É conhecido como implicando que há um algoritmo logspace para obter uma atribuição de satisfazer , quando dado um exemplo satisfatível 2-sab como entrada? $\mathsf{L = NL}$
Se não, e os algoritmos que usam espaço sub-linear (no número de cláusulas)?

sat search-problem logspace

— Niel de Beaudrap
fonte

Dado um 2-CNF satisfatório , você pode calcular uma atribuição satisfatória específica por uma função NL (ou seja, existe um predicado NL que informa se é verdadeiro). Uma maneira de fazer isso é descrita abaixo. Usarei livremente o fato de o NL estar fechado sob $\phi$ $e$ $P(\phi,i)$ $e(x_i)$ $\mathrm{AC}^0$ -reductions, portanto, NL-funções são fechados sob composição; isso é uma consequência de NL = coNL.

Seja um 2-CNF satisfatório. Para qualquer literal , deixe ser o número de literais alcançáveis de por um caminho direcionado no gráfico de implicação de e o número de literais a partir dos quais $\phi(x_1,\dots,x_n)$ $a$ $a^\to$ $a$ $\phi$ $\let\ot\leftarrow a^\ot$ $a$ é alcançável. Ambos são computáveis em NL.

Observe que e , devido à simetria inclinada do gráfico de implicação. Defina uma atribuição para que $\let\ob\overline \ob a^\to=a^\ot$ $\ob a^\ot=a^\to$ $e$

se , então ; $a^\ot>a^\to$ $e(a)=1$
se , então ; $a^\ot<a^\to$ $e(a)=0$
se , deixe ser mínimo de modo a que ou aparece na componente fortemente ligado de (isto não pode ser ao mesmo tempo, como é satisfatório). Coloque se aparecer e caso contrário. $a^\ot=a^\to$ $i$ $x_i$ $\ob x_i$ $a$ $\phi$ $e(a)=1$ $x_i$ $e(a)=0$

A simetria de inclinação do gráfico implica que , portanto, essa é uma atribuição bem definida. Além disso, para qualquer aresta no gráfico de implicação: $e(\ob a)=\ob{e(a)}$ $a\to b$

Se não estiver acessível a partir de , então e . Assim, implica . $a$ $b$ $a^\ot<b^\ot$ $a^\to>b^\to$ $e(a)=1$ $e(b)=1$
Caso contrário, e estão no mesmo componente fortemente ligado, e , . Assim, . $a$ $b$ $a^\ot=b^\ot$ $a^\to=b^\to$ $e(a)=e(b)$

Segue-se que . $e(\phi)=1$

— Emil Jeřábek apoia Monica
fonte

Isso é legal! Existe uma referência?

— Ryan Williams

Eu apenas cozinhei para não saber, mas parece fácil o suficiente para alguém ter observado antes. Minha inspiração foi o argumento de que a classificação topológica de ordens parciais pode ser feita em TC ^ 0, portanto, st de gráficos acíclicos em NL; isso tem uma referência positiva, mas eu não estou no escritório no momento, então é difícil para mim procurar.

— Emil Jeřábek apoia Monica

O resultado de que tarefas satisfatórias podem ser computadas no FNL aparece com um argumento diferente em Cook, Kolokolova: Uma teoria de segunda ordem para NL e com um pouco mais de detalhes em Cook, Nguyen: Fundamentos lógicos da complexidade da prova. No entanto, confesso que não consigo descobrir como isso deve funcionar. Até onde sei, a propriedade (307) deixada como exercício para o leitor no livro da C&N é simplesmente falsa.

— Emil Jeřábek apoia Monica