No teste de identidade polinomial derandomizing

No teste de identidade polinomial, buscamos um algoritmo determinístico para inferir a igualdade de dois polinômios . Derandomizar algoritmos aleatórios eficientes conhecidos e produzir um algoritmo determinístico eficiente é um importante problema em aberto. Existe um problema completo para o PIT, de modo que o teste de identidade des randomizado para essa classe de polinômios resolva esse problema em aberto? Caso contrário, existem classes de polinômios em que esse problema é resolvido e classes em que estão abertas?$g,h\in\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

[tl;dr] Muito se sabe e é uma área muito ativa! [/tl;dr]

É importante especificar a representação dos polinômios de entrada, pois eles são dados como listas de coeficientes ou monômios diferentes de zero, o problema é trivial. Assim, geralmente se assume que os polinômios sejam dados como circuitos aritméticos (também conhecidos como programas lineares). E o caso geral se resume a testar se um determinado polinômio é o polinômio zero.

Existem duas configurações principais que foram estudadas: o caso de caixa branca em que um possui o circuito aritmético e pode inspecioná-lo, e o caso de caixa preta em que se sabe algumas coisas sobre o circuito (tamanho, grau formal, ...), mas não pode inspecione, avalie apenas em alguns valores.

Aqui estão algumas das restrições sobre os circuitos que foram estudados:

• $2$$3$$4$$3$$4$
• Fan-in superior / inferior: para circuitos de profundidade limitada, muitos resultados foram comprovados quando a fan-in (ou arity, que é o número de entradas para um determinado portão) do portão superior ou dos portões inferiores é delimitada.
• Outras restrições, como um limite para o número de vezes que uma variável é usada, também foram estudadas.

Esta pesquisa de Nitin Saxena é uma boa fonte para esses resultados. Observe que ele já tem mais de um ano (!) E é uma área muito ativa. Portanto, os resultados mais recentes não são cobertos.

Por fim, existem links entre a derandomização do PIT e a derandomização de outros problemas:

• Lema de Normalização de Noether , de Ketan D. Mulmuley;
• Fatoração Polinomial Multivariada , de Swastik Kopparty, Shubhangi Saraf e Amir Shpilka.