Aplicações para teoria dos conjuntos, teoria ordinal, combinatória infinita e topologia geral em ciência da computação?

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Sou matemático interessado em teoria dos conjuntos, teoria ordinal, combinatória infinita e topologia geral.

Existem aplicações para esses assuntos em ciência da computação? Procurei um pouco e encontrei muitas aplicações (é claro) para teoria de grafos finitos, topologia finita, topologia de baixa dimensão, topologia geométrica etc.

No entanto, estou procurando aplicações dos objetos infinitos desses assuntos, ou seja, árvores infinitas ( árvores de Aronszajn, por exemplo), topologia infinita etc.

Alguma ideia?

Obrigado!!

set-theory topology topological-graph-theory

— user135172
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ver também Aplicação de assuntos a teoria dos conjuntos como ordinais, forçando, filtros genéricos em engenharia de software cs.se

— vzn

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Além de grande resposta de Neel, que você pode também estar interessado em ordinais computáveis, que desempenham um papel interessante na teoria da computabilidade: en.wikipedia.org/wiki/Recursive_ordinal

— Joshua Grochow

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Uma aplicação principal da topologia na semântica é a abordagem topológica da computabilidade.

A idéia básica da topologia da computabilidade vem da observação de que terminação e não terminação não são simétricas. É possível observar se um programa de caixa preta termina (basta esperar o suficiente), mas não é possível observar se ele não termina (já que você nunca pode ter certeza de que não esperou o suficiente para vê-lo terminar). Isto corresponde a equipar o conjunto de dois pontos {HALT, LOOP} com a topologia Sierpinsky, onde $\emptyset, \{HALT\}, and \{HALT, LOOP\}$ são os conjuntos abertos. Então, basicamente, podemos ir muito longe equiparando "conjunto aberto" com "propriedade computável". Uma surpresa dessa abordagem para os topólogos tradicionais é o papel central que os espaços que não são de Hausdorff desempenham. Isso ocorre porque você pode basicamente fazer as seguintes identificações

\begin{matrix} C o m p u t a b i l i t y & T o p o l o g y \\ Type & Space \\ Computable function & Continuous function \\ Decidable set & Clopen set \\ Semi-decidable set & Open set \\ Set with semidecidable complement & Closed set \\ Set with decidable equality & Discrete space \\ Set with semidecidable equality & Hausdorff space \\ Exhaustively searchable set & Compact space \end{matrix}

$\begin{matrix} \mathbf{Computability} & \mathbf{Topology}\\ \mbox{Type} & \mbox{Space} \\ \mbox{Computable function} & \mbox{Continuous function} \\ \mbox{Decidable set} & \mbox{Clopen set} \\ \mbox{Semi-decidable set} & \mbox{Open set} \\ \mbox{Set with semidecidable complement} & \mbox{Closed set} \\ \mbox{Set with decidable equality} & \mbox{Discrete space} \\ \mbox{Set with semidecidable equality} & \mbox{Hausdorff space} \\ \mbox{Exhaustively searchable set} & \mbox{Compact space} \\ \end{matrix}$

Duas boas pesquisas dessas idéias são a topologia de MB Smyth no Handbook of Logic in Computer Science e a topologia sintética de Martin Escardo de tipos de dados e espaços clássicos .

Os métodos topológicos também desempenham um papel importante na semântica da simultaneidade, mas sei muito menos sobre isso.

— Neel Krishnaswami
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Obrigado pela sua resposta esclarecedora! Vou dar uma olhada.

— User135172

É possível procurar uma topologia mais refinada apenas para a hierarquia polinomial?

— T ....

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Uma aplicação fascinante dessas idéias pode ser encontrada na série de posts "Programas funcionais aparentemente impossíveis" - math.andrej.com/2007/09/28/… , math.andrej.com/2014/05/08/seemingly-impossible -java

— jkff 25/05

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N

$\mathbb{N}$

k \in N

$k \in \mathbb{N}$

{k} \subseteq N

$\{k\} \subseteq \mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

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O Prêmio Gödel de 2004 foi compartilhado entre os trabalhos:

A estrutura topológica da computação assíncrona .
Por Maurice Herlihy e Nir Shavit, Jornal da ACM, vol. 46 (1999), 858-923
O acordo k-set sem espera é impossível: a topologia do conhecimento público .
Por Michael Saks e Fotios Zaharoglou, SIAM J. on Computing, vol. 29 (2000), 1449-1483.

Citações do Prêmio Gödel de 2004:

Os dois documentos oferecem uma das descobertas mais importantes na teoria da computação distribuída.

A descoberta da natureza topológica da computação distribuída fornece uma nova perspectiva sobre a área e representa um dos exemplos mais impressionantes, possivelmente em toda a matemática aplicada, do uso de estruturas topológicas para quantificar fenômenos computacionais naturais.

Post relacionado: Aplicações da topologia à ciência da computação

— hengxin
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Embora essas certamente sejam ótimas aplicações de topologia no TCS, elas são realmente aplicações de "topologia combinatória / algébrica", e não o que eu acho que o OP significa "topologia geral" (que é mais na teoria dos pontos / teoria dos conjuntos / lógica) arena).

— Joshua Grochow

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O comportamento de um sistema reativo é frequentemente modelado usando estruturas infinitas (árvores de cálculo rastreadas e infinitas infinitas) e suas propriedades temporais (propriedades de segurança e vivacidade) também foram caracterizadas usando topologia.

Definindo a vitalidade Alpern e Schneider

Segurança e vida no tempo de ramificação Manolios et. al.

— Mitesh J
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