ETH: k-SAT vs. SAT?

Seja SAT o idioma das instâncias do SAT que contêm variáveis , seja -SAT o idioma das instâncias do SAT nas quais todas as cláusulas têm no máximo k literais, e deixe k -SAT _v ser sua interseção. Seja s_k = \ inf_M \ {\ delta \ mid \ existe c \ forall v \; (M \ text {decide} k \ text {-SAT $ _v $ in} 2 ^ {v \ delta-c}) \ text { time}) \} , onde o mínimo varia sobre todos os algoritmos (máquinas em algum modelo de computação). Deixe s_ \ infty = \ lim_ {k \ to \ infty} s_k$_v$$[v] = \{0,1,\dots,v-1\}$$k$$k$$k$$_v$s ∞ = lim k → ∞ s $s_k = \inf_M\{\delta \mid \exists c\forall v\;( M\text{ decides } k\text{-SAT$_v$ in }2^{v\delta-c})\text{ time}) \}$$s_\infty = \lim_{k \to \infty} s_k$. Para que isso faça sentido, é necessário assumir que existe um limite razoável para o tamanho da entrada em termos do número de variáveis; caso contrário, pode-se repetir cláusulas para forçar $s_k$ e $s_\infty$ a serem tão grandes quanto desejado. Portanto, assuma que as cláusulas não são repetidas.

Observe que cada fórmula $k$ -CNF possui tamanho no máximo $O(v^k)$ , portanto, o tamanho da fórmula de entrada não é importante quando se considera um expoente linear em $v$ . Segue-se que $s_3 \le s_4 \le \dots \le s_\infty$ .

A hipótese de tempo exponencial (ETH) é a afirmação de que $s_k > 0$ para alguns $k\ge 3$ . A sequência $(s_k)$ aumenta infinitamente com frequência se ETH for válido. O forte ETH (SETH) é a declaração que $s_\infty \ge 1$ ou $s_\infty = 1$ , dependendo da referência usada.

Por outro lado, cada instância do SAT $_v$ contém até $3^v$ cláusulas distintas (cada variável pode ser positiva, negativa ou ausente em cada cláusula). Portanto, uma entrada pode ter comprimento $\Omega(2^{n\log 3})$ mesmo que nenhuma cláusula seja repetida; portanto, esse é um limite inferior para o tempo de leitura da entrada e também para o tempo total.

Se então permitirmos que , é claro que apenas considerando os tamanhos de entrada. Mesmo se alguém exigir que uma fórmula de entrada não contenha nenhuma cláusula incluída por outra, . Pelo algoritmo trivial, também é o caso de .s ω ≥ log 3 > 1,58 s ω ≥ 1,5 s ω ≤ 1 + log $s_\omega = \inf_M\{\delta \mid \exists c\forall v\;( M\text{ decides } \text{SAT$_v$ in }2^{v\delta-c})\text{ time}) \}$$s_\omega \ge \log 3 \gt 1.58$$s_\omega \ge 1.5$$s_\omega \le 1+\log 3$

Por que existe uma lacuna entre e , assumindo SETH?s $s_\infty$$s_\omega$

Em certo sentido, é apenas uma maneira diferente de atingir o limite, então parece intrigante que haja uma lacuna.$s_\omega$

• Russell Impagliazzo e Ramamohan Paturi, Sobre a complexidade de SAT$k$ , JCSS 62 367–375, 2001. doi: 10.1006 / jcss.2000.1727 ( pré-impressão )
• Evgeny Dantsin e Alexander Wolpert, em tempo moderadamente exponencial para o SAT , SAT 2010, LNCS 6175 313–325. doi: 10.1007 / 978-3-642-14186-7_27 ( pré-impressão )
• Chris Calabro, Russell Impagliazzo e Ramamohan Paturi, A complexidade da satisfação de pequenos circuitos de profundidade , IWPEC 2009, LNCS 5917 75–85. doi: 10.1007 / 978-3-642-11269-0_6 ( pré-impressão )
• Marek Cygan, Holger Dell, Daniel Lokshtanov, Dániel Marx, Jesper Nederlof, Yoshio Okamoto, Ramamohan Paturi, Saket Saurabh, Magnus Wahlström, Em problemas tão difíceis quanto CNF-SAT , arXiv: 1112.2275v3 , 27 de março de 2014.

A diferença entre suas definições é que a largura da cláusula em pode crescer com o número de variáveis, enquanto que para é arbitrariamente grande, mas constante.s $s_\omega$$s_\infty$

É um problema semelhante ao PH vs PSPACE. Se você fizer um número constante arbitrário de alterações no quantificador, obterá a hierarquia polinomial, mas se permitir que a fórmula seja totalmente quantificada, ocorrerá um problema completo no PSPACE.

Uma maneira melhor de definir esses expoentes é se você perguntar sobre o tempo de execução no formato , em que é um polinômio arbitrário do tamanho da entrada. Em seguida, artefatos como o tamanho desaparecem.p o l y ( | F | ) 3 $c^n\cdot poly(|F|)$$poly(|F|)$$3^v$