Condições suficientes para o colapso da Hierarquia Polinomial (PH)

Quais são algumas afirmações (não conhecidas) de que, se verdade, o PH deve entrar em colapso?

Respostas que contenham uma breve declaração de alto nível com referência (s) são apreciadas. Tentei fazer uma pesquisa reversa sem muita sorte.

Há um número (crescente) de resultados de complexidade parametrizados em que a existência de uma kernelização de tamanho polinomial implica o colapso do PH para o terceiro nível. A técnica central é apresentada em [1], com base em trabalhos anteriores (referenciados em [1]).

Como um exemplo simples, o problema do -Path é a versão parametrizada do problema do Caminho Mais Longo:$k$

$k$
Instância docaminho: Um gráfico e um número inteiro k . Parâmetro: k . Pergunta: G contém um caminho de comprimento k ?$G$$k$
$k$
$G$$k$

Esse problema está no FPT (com algoritmos um pouco práticos), mas em [2] eles mostram que, se houver um núcleo de tamanho polinomial (em ), o PH entrará em colapso para Σ P 3 . (A apresentação atual é tipicamente formulada como um resultado negativo de kernalização, a menos que NP ⊆ coNP / poly ou coNP ⊆ NP / poly, procure algo como "nenhum núcleo polinomial a menos que" tenha muitos resultados.)$k$$\Sigma^{P}_{3}$$\subseteq$$\subseteq$

Referências

1. HL Bodlaender, BMP Jansen e S. Kratsch, "Limites inferiores da kernelização por composição cruzada", SIAM J. Discrete Math., 28 (2014), pp. 277-305. [versão arXiv]
2. HL Bodlaender, RG Downey, MR Fellows, D. Hermelin, "Sobre problemas sem núcleos polinomiais", Journal of Computer and System Sciences, 75 (8): 423-434. 2009. [versão hospedada em Stanford]

$\Sigma_{3}^{P}$

Outra condição interessante é esta:

$\#3SAT$$BPP^{NP}$$BPP$$\Sigma_2^{P}$$\#3SAT$$\Sigma_3^{P}$

$PH \subseteq P^{\#P}$

$\#3SAT$$\#3SAT$

Referências:

[1] Jim Kadin, A hierarquia polinomial do tempo entra em colapso se a hierarquia booleana entra em colapso , SIAM Journal on Computing 17 (1988), n. 6, pp. 1263–1282, doi: 10.1137 / 0217080 .

[2] Richard Chang e Jim Kadin, A hierarquia booleana e a hierarquia polinomial: uma conexão mais próxima , SIAM Journal on Computing 25 (1996), n. 2, pp. 340–354, doi: 10.1137 / S0097539790178069 .

$\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{NP}=\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

$L \in \mathsf{NP}$$\varphi$$\varphi$$x$$(\varphi,x) \in L$$\varphi$ $x$$(\varphi,x) \in L$$\mathsf{PH}$

Outra formalização é:

$\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{NPSV}$$\mathsf{PH}$

$A := \forall i , \Sigma^{P}_{i} \neq \Pi^{P}_{i}$$\mathbb{PH}$$A \implies B$

$\bar{B} \implies \bar{A}$$\mathbb{PH}$

1. $\mathbb{PH}$
2. $\mathbb{PH}$

$\mathbb{PH}$

Aqui estão alguns sucintos:

1. $PSPACE \subseteq P/poly$
2. $EXP \subseteq P/poly$
3. $NP \subseteq P/log$