Condições para tratabilidade da Satisfação 3SAT

O que estou pensando especificamente é se existe uma condição interessante na porcentagem de tarefas que atendem à fórmula 3SAT para garantir que esses problemas sejam tratáveis.

Suponha, por exemplo, a classe de problemas 3SAT que das atribuições possíveis satisfazem a fórmula booleana; podemos encontrar com eficiência uma tarefa satisfatória? Para qual é o problema resultante em P? $\epsilon(n) 2^n$ $2^n$ $\epsilon$

Editar nota: Substituiu por para esclarecer a confusão. $\epsilon$ $\epsilon(n)$

— Rafi Witten
fonte

Uma observação simples: se é no máximo polinomialmente inverso, a amostragem uniforme de vezes produzirá uma solução no tempo polinomial esperado. Portanto, se está entre 1 e 1 / poly (n), esse problema é fácil (está no ZPP).

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

— 22610 Robin Ontário

Da mesma forma, se 1 / eps é quasipolynomial, então você tem um algoritmo de tempo quasipoly randomizados, que em si seria surpreendente

— Suresh Venkat

Sim. Se for uma constante (ou ), e você prometeu que pelo menos de todas as atribuições possíveis estão satisfazendo os 3CNFs de entrada, você pode encontrar tal atribuição em tempo polinomial determinístico . $0< \epsilon <1$ $1/\textit{polylog}(n)$ $\epsilon 2^n$

Os algoritmos não são difíceis:

Reivindicação: Sob a promessa foi dito, deve existir um tamanho constante conjunto de variáveis que atinge todas as cláusulas do 3CNF, no sentido de que todos os 3 cláusula deve conter uma variável de . $S$ $S$

Prova de reivindicação (esboço): Caso contrário, deve existir uma família suficientemente grande de 3 cláusulas do 3CNF, na qual cada variável ocorre apenas uma vez. Mas essa família, quando suficientemente grande, já possui menos de fração de tarefas satisfatórias. QED $\epsilon$

Assim, você pode executar mais possível (número constante) de atribuições para . Sob todas as atribuições fixas a , o 3CNF se torna um 2CNF, supondo que atinja o 3CNF original. Agora, você pode usar o algoritmo determinístico polytime conhecido para encontrar uma atribuição satisfatória para as fórmulas 2CNF. No geral, você obtém um limite superior de tempo polinomial. $S$ $S$ $S$

Acho que o algoritmo para o 2SAT já está no famoso artigo de S. Cook de 1971.

O algoritmo para 3CNFs é de: L. Trevisan Uma nota sobre a contagem aproximada determinística para k-DNF In Proc. de APPROX-RANDOM, Springer-Verlag, página 417-426, 2004

O artigo original que mostra o resultado do 3CNF é: E. Hirsch, Um algoritmo determinístico rápido para fórmulas com muitas atribuições satisfatórias , Journal of the IGPL, 6 (1): 59-71, 1998

— Iddo Tzameret
fonte

Obrigado pela resposta. Na verdade, eu estava interessado em não constante, mas aprender a existência de um algoritmo determinístico é interessante. Editei a pergunta para torná-la mais clara.

ϵ

$\epsilon$

— Rafi Witten

@ Rafi, acho que o mesmo algoritmo funciona para não constante .

ϵ = 1 / p o l y l o g (n)

$\epsilon = 1/polylog(n)$

— Iddo Tzameret

Como você constrói S?

— Radu Grigore

@ Radu, acho que você pode fazer isso com avidez: escolha uma primeira cláusula arbitrária . Em seguida, escolha outra cláusula cujas variáveis não sejam de . Continue fazendo isso, até que você não consiga encontrar uma cláusula com variáveis disjuntas para as cláusulas que você já escolheu. Portanto, as variáveis nas cláusulas que você escolheu são o conjunto de ocorrências.

C_{1}

$C_1$

C_{2}

$C_2$

C_{1}

$C_1$

— Idd Tzameret 19/11/2010