Duas variantes de NP

Aqui estão duas variações na definição de NP. Eles (quase certamente) definem classes de complexidade distintas, mas minha pergunta é: existem exemplos naturais de problemas que se encaixam nessas classes?

(Meu limite para o que conta como natural aqui é um pouco menor que o normal.)

Classe 1 (uma superclasse de NP): Problemas com testemunhas de tamanho polinomial que levam tempo superpolinomial, mas subexponencial para verificação. Para concretude, digamos tempo . Isso é equivalente à classe de idiomas reconhecidos por máquinas não determinísticas que levam tempo mas só podem fazer suposições poli (n) não determinísticas. $n^{O(\log n)}$ $n^{O(\log n)}$

Existem problemas naturais na classe 1 que não se sabe / se pensa estarem em nem em ? $NP$ $DTIME(n^{O(\log n)})$

A classe 1 é uma classe de idiomas, como de costume. A classe 2, por outro lado, é uma classe de problemas relacionais:

Classe 2: Uma relação binária R = {(x, y)} está nesta classe se

Existe um polinômio p tal que (x, y) em R implica em | y | é no máximo p (| x |).
Existe um algoritmo de tempo poli (| x |) A tal que, para todas as entradas x, se houver tal que (x, y) esteja em R, (x, A (x)) esteja em R e se não houver y, A (x) rejeita.
Para qualquer algoritmo de tempo poli (| x |) B, existem infinitamente muitos pares (x, w) tais que B (x, w) difere de R (x, w) (aqui estou usando R para denotar sua própria característica função).

Em outras palavras, em todos os casos, é fácil encontrar alguma testemunha se houver uma. E, no entanto, nem todas as testemunhas são facilmente verificáveis.

(Observe que se R está na classe 2, então a projeção de R em seu primeiro fator está simplesmente em P. É o que eu quis dizer com dizer que a classe 2 é uma classe de problemas relacionais.)

Existem problemas relacionais naturais na classe 2?

— Joshua Grochow
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Não tenho certeza da pergunta. Deseja problemas que obviamente estão em uma das classes, mas não na outra?

— Lev Reyzin

Não. Para cada classe, pergunto-me separadamente se existem problemas naturais que se encaixam na classe, mas não se sabe se encaixam em outras classes de complexidade padrão. Por exemplo, eu gostaria de saber se existe um problema natural na classe 1 que não é conhecido por estar em NP.

— Joshua Grochow

Eu acho que você deseja reescrever a condição 2 para a Classe 2, pois caso contrário A pode ser o algoritmo trivial que sempre rejeita. Sua descrição verbal abaixo parece mais sensata.

— precisa saber é o seguinte

Para a Classe 2, um exemplo um tanto bobo é R (p, a) = {p é um polinômio inteiro, a está no intervalo de p e | a | . = O (poli (| p |)} R é da classe 2, mas indecidible.

— Andy Drucker

Andy - por que não postar isso como resposta em vez de como comentário?

— Joshua Grochow

Para a classe 2, um exemplo um pouco tolo é

R (p, a) = {p é um polinômio inteiro, a está no intervalo de p e | a | = O (poli (| p |)).

R está na classe 2, mas indecidível.

— Andy Drucker
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{x : | p (x) | \leq r (| p |)}

$\{x : |p(x)| \leq r(|p|)\}$

p

$p$

a = 0

$a = 0$

R (p, a)

$R(p, a)$

p = 0

$p = 0$

Ah sim. Foi assim que eu me convenci antes também :). Obrigado.

— Joshua Grochow 23/09/10

Peço que você esclareça um pouco a condição de testemunha na classe 1. Parece que qualquer problema apropriadamente limitado da co-NP parece funcionar, é isso que você pretendia?

$\log n$

— Magnus Wahlström
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n^{O (\log n)}

$n^{O(\log n)}$

N P

$NP$

N P

$NP$

D T I M E (n^{O (\log n)})

$DTIME(n^{O(\log n)})$ (Vou atualizar a pergunta de acordo). Gostaria de saber se uma versão de algum outro problema parametrizado pode funcionar, mas não estou muito familiarizado com a complexidade parametrizada.

— Joshua Grochow

$f$

$f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

$\exists x \forall y f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

Provavelmente não está no QP porque pode expressar todos os problemas no NP e provavelmente não está no NP porque pode expressar todos os problemas no co-NTIME (polylog).

— Robin Kothari
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f

$f$

n + m

$n+m$

x_{i}

$x_i$

y_{j}

$y_j$

Sim, acho que funcionaria.

— Robin Kothari