P / poly NP / poly tem implicações interessantes?

$P/poly = NP/poly$ implica , que por sua vez tem conseqüências interessantes como o colapso da hierarquia polinomial. $NP \subseteq P/poly$

Existem implicações interessantes para ? $P/poly \neq NP/poly$

cc.complexity-theory conditional-results advice-and-nonuniformity

— Thomas Klimpel
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P / p o l y = N P / p o l y

$\mathrm{P}/\mathrm{poly}=\mathrm{NP}/\mathrm{poly}$ é equivalente a .

N P \subseteq P / p o l y

$\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{P}/\mathrm{poly}$

— Emil Jeřábek 3.0 26/06

@ EmilJeřábek Então você diz P / poly NP / poly implica NP P / poly. Você tem alguma referência para isso ou pode me explicar como ver isso? Se sim, então isso definitivamente se qualifica como uma resposta.

\neq

$\neq$

⊈

$\not\subseteq$

— Thomas Klimpel

@ Kaveh: está removendo a motivação realmente o tipo de coisa que deveríamos estar fazendo? Ele me apresentou coisas que eu nunca havia encontrado antes, e não é como se não tivesse sido cortada. Este não é o Twitter.

— András Salamon

@ EmilJeřábek Acho que entendi agora. NP

\subseteq

$\subseteq$ P / poly implica P / poly = NP / poly, porque o algoritmo determinístico pode obter sua própria sequência de aconselhamento para se tornar tão poderoso quanto NP, junto com a sequência de aconselhamento para o idioma de NP / poly, e isso é o suficiente para decidir esse idioma.

— Thomas Klimpel

@ThomasKlimpel: Sim, exatamente.

— Emil Jeřábek 3.0

O comentário de Emil Jeřábek responde à pergunta:

P / poli NP / poli é equivalente a NP P / poli $=$ $\subseteq$

Observe o corolário

P / poli NP / poli implica P NP. $\neq$ $\neq$

Prova de corolário:

P / poli NP / poli é equivalente a NP P / poli (comentário de Emil) $=$ $\subseteq$ $\$
NP P / poli implica P / poli NP / poli (implícito em 1.) $\subseteq$ $=$ $\$
P / poli NP / poli implica NP P / poli (equivalente a 2.) $\neq$ $\not\subseteq$ $\$
NP P / poli implica P NP (P P / poli) $\not\subseteq$ $\neq$ $\$ $\subseteq$
P / poli NP / poli implica P NP (implicado em 3. e 4.) $\neq$ $\neq$ $\$

Prova do comentário de Emil: É suficiente mostrar que NP P / poli implica P / poli NP / poli. $\subseteq$ $=$

Então, vamos assumir NP P / poly. $\subseteq$
Como SAT NP existe e uma sequência de strings de aconselhamento com , um algoritmo determinístico que pode decida instâncias SAT de tamanho in time , se tiver acesso a . WLOG, esse algoritmo também pode decidir instâncias SAT de tamanho , porque podemos definir uma sequência modificada com , onde todas as strings de conselhos anteriores estão incluídas em . $\in$ $p_{SAT}\geq k_{SAT}>0$ $s_n$ $\left|s_n\right|\leq n^{k_{SAT}}$ $n$ $\leq n^{p_{SAT}}$ $s_n$ $\leq n$ $s'_n=s'_{n-1}s_n$ $\left|s'_n\right|\leq n^{k_{SAT}+1}$ $s'_n$
Agora vamos NP / poly ser uma linguagem arbitrária, para a qual precisamos mostrar P / poly. Existe e uma sequência de conselhos com e um algoritmo não determinístico que pode decidir instâncias de tamanho em tempo , se tiver acesso a . $L\in$ $L\in$ $p_L\geq k_L>0$ $l_n$ $\left|l_n\right|\leq n^{k_L}$ $L$ $n$ $\leq n^{p_L}$ $l_n$
Para cada com , uma instância de SAT de tamanho pode ser computada (em tempo ) que pode ser satisfeita exatamente se . $w$ $|w|=n$ $\leq c\cdot n^{p_L}$ $O(n^{p_L})$ $w\in L$
Portanto, para a sequência de strings de aconselhamento com , a combinação dos algoritmos determinísticos de 2. e 4. fornece um algoritmo determinístico que pode decidir instâncias de tamanho no tempo , se tiver acesso a . $t_n=l_ns_{c\cdot n^{p_L}}$ $|t_n|\leq n^{k_L}+(c\cdot n^{p_L})^{k_{SAT}}$ $L$ $n$ $O((c\cdot n^{p_L})^{p_{SAT}})$ $t_n$
Como NP / poly era uma linguagem arbitrária, isso mostra NP / poly P / poly, sob a suposição de que NP P / poly. $L\in$ $\subseteq$ $\subseteq$

Todas as provas acima são relativizadas, porque a existência de problemas completos de NP também é verdadeira em mundos relativizados. Isso sugere que é inútil procurar uma prova de que P / poly NP / poly. No entanto, vamos resumir a seção de motivação removida $\neq$ da pergunta como "A sequência de conselhos poderia ser um sistema axiomático formal (garantido automaticamente para ser consistente, sorriso maligno) cuja força está aumentando rapidamente com o comprimento da entrada, e NP é extremamente bom em explorar esse conselho". Se não se tomar muito cuidado com o fato de que "a existência de uma sequência de conselhos" apenas tenha significado "formal" em relação a um sistema formal fixo, é provável que essa configuração permita a construção de aparentes paradoxos. Mas a construção de tais paradoxos pode ser divertida, no entanto, e talvez eles até sugiram maneiras de construir provas de independência (para sistemas formais suficientemente fracos).

— Thomas Klimpel
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